Question

Решить неравенство: log8x(16)*(log0,5(4x))^2<=9

Answer 1

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Для решения данного неравенства, начнем с поиска области определения. Так как логарифмы должны иметь положительные аргументы, условие $x > 0$ является необходимым.

Теперь приступим к решению неравенства:

1. Начнем с вычисления значений выражений под логарифмами: $\log_8(16) = 2, \quad \log_{0.5}(4x) = \frac{\log_2(4x)}{\log_2(0.5)} = \frac{\log_2(4x)}{-1} = -\log_2(4x)$ Помним, что $\log_b(x^y) = y \log_b(x)$ и $\log_b(b) = 1$.

2. Подставляем значения: $\left(2 \cdot (-\log_2(4x))\right)^2 \leq 9$

3. Упростим неравенство: $(2 \cdot (-\log_2(4x)))^2 \leq 9$ $4 \cdot (\log_2(4x))^2 \leq 9$

4. Разделим обе стороны на 4: $(\log_2(4x))^2 \leq \frac{9}{4}$

5. Теперь избавимся от квадрата, применяя корень к обеим сторонам. Учитывая, что $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $|\log_2(4x)| \leq \frac{3}{2}$

6. Рассмотрим два случая: а) $\log_2(4x) \leq \frac{3}{2}$ б) $\log_2(4x) \geq -\frac{3}{2}$

а) $\log_2(4x) \leq \frac{3}{2}$: Для логарифмов с положительным основанием и аргументом меньше 1, значение логарифма от аргумента будет отрицательным: $\log_2(4x) < \frac{3}{2}$ Теперь найдем интервал, для которого это неравенство выполнено: $4x < 2^{\frac{3}{2}} = 2 \cdot \sqrt{2}$ $x < \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

б) $\log_2(4x) \geq -\frac{3}{2}$: Здесь аргумент логарифма положителен, значит: $4x > 2^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ $x > \frac{\sqrt{2}}{4}$

Таким образом, решением неравенства $\log_8(x) \cdot (\log_{0.5}(4x))^2 \leq 9$