Question

100 БАЛЛОВ!! С ГРАФИКОМ ПЖ!!! Знайдіть площу фігури, обмеженої параболою у= 2х - х^2, дотичною, проведенеою до цієї параболи в точці з абсцисою х0 = 2, та віссю ординат

Answer 1

на фото....................

Answer 2

Для знаходження площі фігури, обмеженої параболою та дотичною, проведеною до цієї параболи, спочатку знайдемо координати точки дотику та рівняння дотичної, а потім визначимо площу фігури.

1. Знаходження точки дотику та рівняння дотичної:

По-перше, знайдемо похідну від параболи у = 2x - x^2 і підставимо значення х0 = 2, щоб знайти нахил дотичної у0 та координати точки дотику (2, у0):

у' = d(2x - x^2)/dx у' = 2 - 2x

Підставимо х = 2: у' = 2 - 2(2) = -2

Таким чином, нахил дотичної у0 = -2.

Тепер, ми знаємо, що дотична має нахил -2 та проходить через точку (2, у0). Використовуючи формулу для рівняння прямої, знаходимо рівняння дотичної:

у - у0 = у' * (х - х0) у - у0 = -2 * (х - 2)

Заміняємо у0 і спростимо: у + 2 = -2х + 4 у = -2х + 2

2. Знаходження точок перетину зі віссю ординат:

Щоб знайти точки перетину зі віссю ординат, ставимо у = 0 в рівнянні параболи:

0 = 2х - х^2

Отримаємо квадратне рівняння: х^2 - 2х = 0

Факторизуємо: х(х - 2) = 0

Знаходимо дві точки перетину: х = 0 та х = 2.

3. Знаходження площі фігури:

Площа фігури обмежена параболою та дотичною може бути знайдена як різниця між площами під криволінійним графіком та дотичної від х = 0 до х = 2.

Спочатку знайдемо площу під криволінійним графіком:

S1 = ∫[0 to 2] (2x - x^2) dx

S1 = [x^2 - (x^3)/3] [0 to 2] S1 = [(2)^2 - (2^3)/3] - [(0)^2 - (0^3)/3] S1 = [4 - 8/3] - [0 - 0] S1 = 4/3

Тепер знайдемо площу під дотичною:

S2 = ∫[0 to 2] (-2x + 2) dx

S2 = [-x^2 + 2x] [0 to 2] S2 = [-(2)^2 + 2(2)] - [-(0)^2 + 2(0)] S2 = [-4 + 4] - [0] S2 = 0

Остаточно, площа фігури обмеженої параболою та дотичною є різницею між S1 та S2:

Площа = S1 - S2 = 4/3 - 0 = 4/3 або приблизно 1.33 квадратних одиниці.