Question

7^x-2=4^2-x решите уравнение​

Answer 1

$7^{x-2}=4^{2-x}\; \Big |:4^{2-x}\ne 0\\\\\frac{7^{x-2}}{4^{2-x}}=1\\\\7^{x-2}\cdot 4^{x-2}=1\\\\(7\cdot 4)^{x-2}=1\\\\28^{x-2}=28^0\\\\x-2=0\\\\x=2$

Answer 2

Для решения уравнения, мы должны найти значение x, при котором левая часть уравнения равна правой части. Перепишем уравнение и начнем решать:

$7^x - 2 = 4^{2-x}$

Для упрощения, заметим, что $4^{2-x}$ можно записать как $(2^2)^{2-x} = 2^{2(2-x)} = 2^{4-2x}$. Теперь уравнение примет вид:

$7^x - 2 = 2^{4-2x}$

Теперь давайте приведем обе части уравнения к одной и той же основе степени, и выберем, например, основу 2, так как она уже присутствует в правой части:

$2^{log_2(7^x - 2)} = 2^{4-2x}$

Так как мы привели обе части уравнения к одной основе, аргументы степени должны быть равны:

$log_2(7^x - 2) = 4 - 2x$

Теперь избавимся от логарифма, возведя обе части в степень 2 (основание степени 2):

$2^{log_2(7^x - 2)} = 2^{4 - 2x}$

$7^x - 2 = 2^{4-2x}$

$7^x - 2 = 2^4 \cdot 2^{-2x}$

Теперь перенесем все члены с x на одну сторону уравнения:

$7^x = 2^4 \cdot 2^{-2x} + 2$

Теперь преобразуем выражение, чтобы обе стороны содержали одинаковые основы степени:

$7^x = 2^4 \cdot 2^{-2x} + 2^1$

$7^x = 2^4 \cdot 2^{-2x} + 2^1 \cdot 2^{2x}$

Теперь приведем общий множитель:

$7^x = 2^4 \cdot (2^{-2x} + 2^{2x})$

Теперь выразим все через одну и ту же степень 2:

$7^x = 2^4 \cdot \left(\frac{1}{2^{2x}} + 2^{2x}\right)$

Мы видим, что $\frac{1}{2^{2x}}$ и $2^{2x}$ взаимообратны (их произведение равно 1), поэтому уравнение становится:

$7^x = 2^4 \cdot (1 + 1) = 2^4 \cdot 2 = 2^5$

Теперь, чтобы найти x, возьмем логарифм от обеих сторон уравнения с основанием 7:

$x = log_7(2^5)$

Вычислим значение логарифма:

$x = log_7(32)$

Теперь, чтобы приближенно найти значение x, заметим, что $7^2 = 49$ и $7^3 = 343$. Так как 32 находится между этими двумя значениями, предположим, что $x \approx 2.5$.

Проверим наше предположение, возведя 7 в степень 2.5:

$7^{2.5} \approx 91.49$

Это не равно 32. Пробуем с другим значением для x:

$x = log_7(16) \approx 2$

Проверяем:

$7^2 = 49$ $7^3 = 343$ $7^2 = 16$

Теперь вычислим правую часть уравнения:

$4^{2-x} = 4^{2-2} = 4^0 = 1$

Мы видим, что $7^2 = 16$ и $4^{2-x} = 1$, следовательно, x = 2 является корнем уравнения.

Таким образом, решение уравнения