Question

Походная функций f(x)=(3x-5)√x полное решение.

Answer 1

$f(x) = (3x-5)\sqrt{x}\\\\ u=3x-5\\ v=\sqrt{x} \\ f'(u,v) = u'v+uv'\\ \\ f'(x)=(3x-5)'\sqrt{x}+(3x-5)(\sqrt{x})'=3\sqrt{x}+\frac{3x-5}{2\sqrt{x}}=\frac{6x+3x-5}{2\sqrt{x}}=\frac{9x-5}{2\sqrt{x}}$

Answer 2

Для решения задачи, необходимо уточнить, что именно требуется. Похоже, вы хотите найти производную и интеграл функции f(x) = (3x - 5)√x. Давайте выполним оба шага.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x). Для этого применим правило производной произведения функций (Product Rule) и правило производной функции корня (Chain Rule):

f(x) = (3x - 5)√x

f'(x) = (3x - 5) * d/dx(√x) + √x * d/dx(3x - 5)

Для упрощения рассчитаем каждое слагаемое:

1. d/dx(√x) = (1/2) * x^(-1/2)

2. d/dx(3x - 5) = 3

Теперь подставим значения обратно:

f'(x) = (3x - 5) * (1/2) * x^(-1/2) + √x * 3

f'(x) = (3x - 5) * (1/2√x) + 3√x

f'(x) = (3x - 5)/2√x + 3√x

Шаг 2: Найдем интеграл функции f(x).

∫f(x) dx = ∫((3x - 5)√x) dx

Для упрощения процесса интегрирования применим метод интегрирования по частям (Integration by Parts). Формула для интегрирования по частям:

∫u dv = uv - ∫v du

Приравняем u и dv:

u = (3x - 5), dv = √x dx

Тогда:

du = d/dx(3x - 5) dx = 3 dx v = ∫√x dx

Для интегрирования √x используем замену переменной. Пусть t = √x, тогда dt = (1/2√x) dx. Тогда:

∫√x dx = ∫t dt = (1/2) t^2

Вернемся к исходной переменной:

∫√x dx = (1/2) (√x)^2 = (1/2) x

Теперь рассчитаем окончательный интеграл:

∫f(x) dx = (3x - 5) * (1/2) x - ∫(1/2) x * 3 dx

∫f(x) dx = (3x - 5) * (1/2) x - (3/2) ∫x dx

∫f(x) dx = (3x - 5) * (1/2) x - (3/2) * (1/2) x^2 + C

Где C - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, полным решением для данной функции f(x) = (3x - 5)√x является:

F(x) = (3x - 5) * (1/2) x - (3/2) * (1/2) x^2 + C