Question

При каких значениях параметра a, для каждого из которых прямая y=a имеет хотя бы одну общую точку с графиком функции y=tg^2 x+7/3tg x+1

Answer 1

$\frac{tg^2x+7}{3tgx+1} =a\\ \\\frac{tg^2x+7}{3tgx+1}-a=0\\ \\\frac{tg^2x+7-3atgx-a}{3tgx+1}=0$

Дробь равна 0 когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от нуля.

{tg²x - 3atgx + (7 - a) = 0

{3tgx + 1 ≠ 0  ⇒  tgx ≠ -1/3

Замена переменной:

tgx=t

t²-3at+(7-a)=0

D=(-3a)²-4·(7-a)=9a²+4a-28

Если дискриминант квадратного уравнения равен 0, то уравнение имеет один корень.

9a²+4a -28=0

D₁=16-4·9·(-28)=4·256=(2·16)²=32²

a=(-4-32)/18=-2   или   a=(-4+32)/18=14/9

При а=-2 или при а=14/9 уравнение имеет один корень.

Найдем его

t²-3at+(7-a)=0

при a=-2:

t²+6t+9=0

t= - 3 ( корень отличен от (-1/3))

а=14/9

t²-(14/3)t +(49/9)=0

t²-2t·(7/3)+(7/3)²=0

t=7/3 ( корень отличен от (-1/3))

При D > 0 уравнение имеет два корня:

a∈(-∞;-2)U(14/9; +∞)

О т в е т.

один или два корня при

a∈(-∞;-2]U[14/9; +∞)

Answer 2

Для того чтобы прямая y = a имела хотя бы одну общую точку с графиком функции y = tg^2(x) + (7/3)tg(x) + 1, значения параметра a должны лежать в диапазоне, где прямая пересекает график функции. Это происходит, когда существует такое значение x, при котором уравнение функции tg^2(x) + (7/3)tg(x) + 1 = a имеет хотя бы одно решение.

Приступим к решению уравнения:

tg^2(x) + (7/3)tg(x) + 1 = a

Это уравнение содержит квадрат тангенса и линейное выражение тангенса. Для решения удобно ввести вспомогательную переменную u = tg(x). Тогда уравнение примет вид:

u^2 + (7/3)u + 1 - a = 0

Это квадратное уравнение относительно u. У него существует хотя бы одно решение, если дискриминант неотрицателен:

D = (7/3)^2 - 4(1 - a) ≥ 0

Упростим неравенство:

(49/9) - 4 + 4a ≥ 0 4a ≥ (49/9) - 4 4a ≥ (49 - 36)/9 4a ≥ 13/9

Теперь найдем диапазон значений a:

a ≥ 13/9 * (1/4) a ≥ 13/36

Таким образом, при значениях параметра a, больших или равных 13/36, прямая y = a будет иметь хотя бы одну общую точку с графиком функции y = tg^2(x) + (7/3)tg(x) + 1.