Question

F(x)＝3x-2x^2 Иследование функции 10 класс

Answer 1

y=-2x²+3x

Δ=9  

√Δ=3

X1=(-3-3)/-4=-6/-4=3/2

X2=(-3+3)/-4=0

X e {0,3/2}      (нульльи функции)

* вершина параболы (p,q)

p=-b/2a=-3/-4=3/4

q=-D/4a=-9/-8=9/8

B=[3/4;9/8]

* места пересечь параболы с осию ОY:  [0,0]

F(0)=2*0+3*0=0

* уравнение оси симметрии:  x=-b/2a =-3/-4=3/4

* экстрэмум (максимум) функции: f(3/4)

* функция роснаца в купе:(-∞;3/4)>

 Функция малеяца в купе:<3/4; +∞)

Answer 2

Давайте проведем исследование функции F(x) = 3x - 2x^2, чтобы определить ее основные характеристики.

Исследование функции включает в себя:

1. Нахождение области определения функции (где функция определена).
2. Анализ поведения функции в бесконечности (пределы функции при x → ±∞).
3. Нахождение точек пересечения с осями координат.
4. Определение интервалов монотонности функции.
5. Поиск экстремумов (максимумов и минимумов) функции.
6. Анализ выпуклости (вогнутости) функции.
7. Построение графика функции.

Давайте последовательно выполним каждый из этих шагов:

1. Область определения функции: Функция F(x) определена для всех действительных чисел x, так как она является полиномом.

2. Поведение функции в бесконечности: При x → ±∞, 2x^2 преобладает над 3x, поэтому функция стремится к отрицательной бесконечности.

3. Точки пересечения с осями координат: Для определения точек пересечения с осями координат, решим уравнение F(x) = 0: 3x - 2x^2 = 0 x(3 - 2x) = 0

Отсюда получаем две точки пересечения: x = 0 и x = 3/2.

4. Интервалы монотонности функции: Для определения интервалов монотонности найдем производную функции F'(x): F'(x) = d/dx (3x - 2x^2) = 3 - 4x

Теперь найдем значения x, при которых производная равна нулю и определяем интервалы монотонности: 3 - 4x = 0 4x = 3 x = 3/4

Интервалы монотонности: -∞ < x < 3/4 : Функция убывает. 3/4 < x < +∞ : Функция возрастает.

5. Экстремумы функции: Экстремумы функции могут находиться в точках, где производная равна нулю или не существует. У нас уже есть точка x = 3/4, где производная равна нулю. Чтобы определить, является ли это точка экстремумом, проведем вторую производную F''(x):

F''(x) = d^2/dx^2 (3x - 2x^2) = -4

Так как F''(x) < 0 для всех значений x, то у нас есть максимум функции в точке x = 3/4.

6. Выпуклость (вогнутость) функции: Поскольку F''(x) постоянна и отрицательна, функция является вогнутой на всей числовой прямой.

7. Построение графика функции: Объединим все наши результаты для построения графика функции F(x):

• Область определения: (-∞, +∞)
• Поведение в бесконечности: Функция стремится к отрицательной бесконечности.
• Точки пересечения с осями координат: (0, 0) и (3/2, 0).
• Интервалы монотонности: Функция убывает на интервале (-∞, 3/4) и возрастает на интервале (3/4, +∞).
• Экстремум: Максимум в точке (3/4, 9/8).
• Выпуклость: Функция вогнута на всей числовой прямой.

Построим график функции F(x):

(Обратите внимание, что график ниже представлен с упрощенной шкалой и не соответствует реальным координатам.)

scssCopy code
         ^
         |
    +    |                * (3/2, 0)
         |
    |    |
    |    |
    |    |         * (3/4, 9/8)
    |    |
    |    |
    |    |
    |    |          * (0, 0)
---------|----------------->
         |   
         |   
         |

Надеюсь, это исследование функции помогло вам понять ее основные характеристики. Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы или запросы, не стесняйтесь спрашивать!