Question

Знайти проміжки зростання і спадання, f(x)=x^2-2x

Answer 1

Знайдемо абсцису вершини параболи х0:

х0=-b/2a=2/2=1

Оскільки а=1>0, то вітки параболи направлені вгору. Отже, функція спадає на проміжку (-∞;х0] і зростає на проміжку [х0;+∞).

Відповідь: проміжок зростання [1;+∞), проміжок спадання (-∞;1].

Answer 2

Щоб знайти проміжки зростання і спадання функції f(x) = x^2 - 2x, спочатку потрібно знайти її похідну і визначити, де вона додатня або від'ємна.

1. Знайдемо похідну функції f(x): f'(x) = d/dx(x^2 - 2x)

Застосовуємо правило диференціювання потужностей: f'(x) = 2x - 2

2. Розв'яжемо рівняння f'(x) = 0, щоб знайти критичні точки: 2x - 2 = 0 2x = 2 x = 1

Таким чином, критична точка цієї функції знаходиться при x = 1.

Тепер складемо таблицю знаків похідної, щоб визначити проміжки зростання і спадання:

Copy code
 x < 1      |       x = 1      |      x > 1

---

f'(x) < 0 | Невідомо* | f'(x) > 0

*У точці x = 1 потрібно провести додаткові дослідження, оскільки наш аналіз похідної не допомагає визначити поведінку функції саме в цій точці. Для цього розглянемо поведінку функції f(x) навколо x = 1.

3. Проведемо дослідження функції f(x) навколо точки x = 1: a) При x < 1: Підставимо, наприклад, x = 0: f(0) = (0)^2 - 2(0) = 0 Отже, функція при x < 1 менше за нуль.

b) При x > 1: Підставимо, наприклад, x = 2: f(2) = (2)^2 - 2(2) = 4 - 4 = 0 Отже, функція при x > 1 більше за нуль.

4. Зробимо висновки:

• Функція f(x) зростає при x > 1 (тобто, вона додатна на проміжку x > 1).
• Функція f(x) спадає при x < 1 (тобто, вона від'ємна на проміжку x < 1).

Таким чином, проміжок зростання функції - це x > 1, а проміжок спадання - це x < 1.