Question

Пользуясь определением производной,найдите производную функции f(x)=x^2+x-2 Срочно,даю 20 баллов

Answer 1

$\displaystyle f(x)=x^2+x-2\\\\f'(x_o)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_o+\Delta x)-f(x_o)}{\Delta x}=\\\\\\=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x_o+\Delta x)^2+x_o+\Delta x-2-(x^2_o+x_o-2)}{\Delta x}=\\\\\\=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^2_o+2x_o\Delta x+\Delta x^2+x_o+\Delta x-2-x^2_o-x_o+2}{\Delta x}=\\\\\\=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x_o\Delta x+\Delta x^2+\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x(2x_o+\Delta x+1)}{\Delta x}=\\\\\\=\lim_{\Delta x \to 0}(2x_o+1+\Delta x)=2x_o+1$

$f'(x)=\boxed{2x+1}$

Answer 2

Без проблем! Для нахождения производной функции f(x) = x^2 + x - 2 воспользуемся определением производной:

Производная функции f(x) по x, обозначаемая как f'(x), определяется как предел разности функции f(x) при изменении x на бесконечно малую величину h, деленную на h, при h стремящемся к нулю:

f'(x) = lim(h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h

Теперь подставим функцию f(x) = x^2 + x - 2 и найдем производную:

f'(x) = lim(h -> 0) [(x + h)^2 + (x + h) - 2 - (x^2 + x - 2)] / h = lim(h -> 0) [(x^2 + 2hx + h^2 + x + h - 2 - x^2 - x + 2)] / h = lim(h -> 0) [2hx + h^2 + h] / h

Теперь сократим h в числителе и знаменателе:

f'(x) = lim(h -> 0) (2x + h + 1)

И, наконец, подставим h = 0:

f'(x) = 2x + 1

Таким образом, производная функции f(x) = x^2 + x - 2 равна f'(x) = 2x + 1.