Question

Решить линейное дифференциальное уравнение x y' + y = x + 4​

Answer 1

$xy'+y=x+4;\ xy'+x'y=x+4;\ (xy)'=x+4;\ xy=\int(x+4)\, dx;$

$xy=\frac{x^2}{2}+4x+C;\ y=\frac{x}{2}+4+\frac{C}{x}$

Answer 2

Решение неоднородного ДУ представлено на фото

Answer 3

Для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами вида:

xy' + y = x + 4,

можно использовать метод вариации постоянной. Сначала найдем общее решение однородного уравнения:

xy' + y = 0.

Для этого предположим, что y имеет вид y = e^(mx), где m - постоянная. Подставим это предположение в уравнение:

xe^(mx) + e^(mx) = 0.

Теперь разделим уравнение на e^(mx):

x + 1 = 0.

Отсюда получаем, что x = -1. Таким образом, общее решение однородного уравнения:

y_h = C * e^(-x),

где C - произвольная постоянная.

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого предположим, что y имеет вид y = Ax + B, где A и B - неизвестные константы. Подставим это предположение в уравнение:

x(A) + B + (Ax + B) = x + 4.

x*A + B + Ax + B = x + 4.

Теперь соберем все члены с x и числовые члены вместе:

Ax + Ax + x = x + 4 - B - B.

2Ax + x = x + 4 - 2B.

Так как это должно быть верно для любого значения x, то коэффициенты при одинаковых степенях x должны быть равны. Сравним коэффициенты при x:

2A = 1, ---> A = 1/2.

Теперь сравним свободные члены:

4 - 2B = 0, ---> -2B = -4, ---> B = 2.

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения:

y_p = (1/2)x + 2.

Теперь общее решение неоднородного уравнения:

y = y_h + y_p = C * e^(-x) + (1/2)x + 2.

где C - произвольная постоянная.