Question

Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (7+n)в квадрате-n в квадрате делится на 7

Answer 1

Разложим выражение на множители:

(7+n)² - n² = (7+n-n)(7+n+n) = 7(7+2n)

Один из множителей 7, следовательно, выражение кратно семи.

Answer 2

(7+n)²-n²=7·7+2·7·n+n²-n²=7·7+2·7·n=7·(7+2·n) делится на 7

вот так:

7·(7+2·n) : 7 = 7+2·n

Answer 3

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

1. Базовый шаг: Для n = 1: (7 + 1)^2 - 1^2 = 8^2 - 1 = 64 - 1 = 63. Так как 63 делится на 7 без остатка (7 * 9 = 63), утверждение верно для n = 1.

2. Индукционное предположение: Предположим, что утверждение верно для некоторого произвольного натурального k, т.е., (7 + k)^2 - k^2 делится на 7 без остатка.

3. Индукционный переход: Докажем, что утверждение верно и для n = k + 1. Для этого рассмотрим выражение (7 + (k + 1))^2 - (k + 1)^2: (7 + (k + 1))^2 - (k + 1)^2 = (8 + k)^2 - (k + 1)^2 = (64 + 16k + k^2) - (k^2 + 2k + 1) = 63 + 14k. Мы видим, что (7 + (k + 1))^2 - (k + 1)^2 имеет вид 63 + 14k.

Теперь остается доказать, что 63 + 14k делится на 7 без остатка, чтобы завершить доказательство по индукции.

Деление 63 + 14k на 7: (63 + 14k) / 7 = 9 + 2k. Таким образом, 63 + 14k делится на 7 без остатка.

Так как мы доказали, что утверждение верно для n = 1 и предположили, что оно верно для n = k, и затем доказали, что оно верно и для n = k + 1, по принципу математической индукции утверждение верно для любого натурального числа n.