Question

Помогите пожалуйста 1) integral (8-13x)/(√x^2-1) dx 2) integral (1-2sin(X/5))^2 dx 3) integral dx/(3x^2-2x+6) dx

Answer 1

Ответ: смотри фотографию ниже.

Объяснение:

Первый интеграл делим на два слагаемых и вычисляем табличные интегралы.

Второй интеграл расписываем через основное тригонометрическое тождество и получаем косинус двойного угла, в итоге получаем табличный интеграл.

Третий интеграл в знаменателе выделяем полный квадрат, в дифференциале домнажаем $\sqrt{3}$ и делим за перед знаком интеграла на $\frac{1}{\sqrt{3} }$, а также отнимаем в дифференциале $\frac{1}{\sqrt{3} }$. Итого, табличный интеграл.

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить эти интегралы. Давайте рассмотрим их по очереди:

1. ∫ (8 - 13x) / √(x^2 - 1) dx

Для начала, давайте заменим переменную: u = x^2 - 1. Тогда, du = 2x dx.

Получаем:

∫ (8 - 13x) / √(x^2 - 1) dx = ∫ (8 - 13x) / √u * (1 / 2) du = (1/2) * ∫ (8 - 13x) / √u du

Теперь разберемся с числителем:

∫ (8 - 13x) / √u du = ∫ 8/√u du - ∫ (13x/√u) du = 8 * ∫ u^(-1/2) du - 13 * ∫ (x * u^(-1/2)) du = 8 * 2u^(1/2) - 13 * ∫ (x * u^(-1/2)) du = 16√u - 13 * ∫ (x * u^(-1/2)) du

Теперь рассмотрим второй интеграл:

∫ (x * u^(-1/2)) du

Для него выполним замену: v = u^(1/2), тогда dv = (1/2) * u^(-1/2) du.

Получаем:

∫ (x * u^(-1/2)) du = ∫ x * v * 2dv = 2∫ (xv) dv = 2 * (x * ∫ v dv) = 2 * (x * v^2 / 2) = x * v^2 = x * (u^(1/2))^2 = x * u

Теперь подставим обратно в наш интеграл:

16√u - 13 * ∫ (x * u^(-1/2)) du = 16√u - 13 * (x * u) + C

Используя исходную замену u = x^2 - 1, получим окончательное решение:

∫ (8 - 13x) / √(x^2 - 1) dx = 16 * √(x^2 - 1) - 13 * x * √(x^2 - 1) + C

2. ∫ (1 - 2sin(x/5))^2 dx

Для этого интеграла воспользуемся формулой для квадрата функции:

(1 - 2sin(x/5))^2 = 1 - 4sin(x/5) + 4sin^2(x/5)

Теперь проинтегрируем каждый из трех членов по отдельности:

∫ 1 dx = x

∫ 4sin(x/5) dx

Для этого интеграла выполним замену: u = x/5, тогда du = (1/5) dx.

Получаем:

∫ 4sin(x/5) dx = 4 * ∫ sin(u) du = -4cos(u) = -4cos(x/5)

∫ 4sin^2(x/5) dx

Для этого интеграла воспользуемся формулой половинного угла: sin^2(a) = (1 - cos(2a))/2.

Теперь:

∫ 4sin^2(x/5) dx = 2 * ∫ (1 - cos(2x/5)) dx = 2 * (x - 5sin(2x/5))

Теперь объединим все части:

∫ (1 - 2sin(x/5))^2 dx = x - 4cos(x/5) + 2x - 10sin(2x/5) + C

Упростим:

∫ (1 - 2sin(x/5))^2 dx = 3x - 4cos(x/5) - 10sin(2x/5) + C

3. ∫ dx / (3x^2 - 2x + 6)

Для интегрирования данной функции воспользуемся методом разложения на простые дроби (partial fraction decomposition).

Сначала найдем корни знаменателя:

3x^2 - 2x + 6 = 0

Дискриминант D = (-2)^2 - 4 * 3 * 6 = 4 - 72 = -68, что является отрицательным числом. Это значит, что уравнение не имеет вещественных корней, и знаменатель нельзя разложить на линейные множители.

Значит, подынтегральное выражение не может быть разложено на простые дроби над полем вещественных чисел. Таким образом, данный интеграл не может быть выражен в элементарных функциях, и его значение можно оставить в виде неопределенного интеграла:

∫ dx / (3x^2 - 2x + 6) = ∫ dx / (3x^2 - 2x + 6) + C, где C - произвольная постоянная.

И это окончательный ответ для данного интеграла.