Question

Периметр прямоугольника равен 28 см, а его диагональ равна 10 см. Найдите площадь прямоугольника.​

Answer 1

48. Решение задания приложено

Answer 2

Давайте обозначим стороны прямоугольника через $a$ и $b$ (где $a$ - это длина, а $b$ - ширина). Тогда периметр прямоугольника равен $P = 2a + 2b$.

Мы также знаем, что диагональ прямоугольника ($d$) составляет прямой угол с его сторонами. Используя теорему Пифагора, можем найти связь между $a$, $b$ и $d$:

$d^2 = a^2 + b^2$

Из условия задачи известны $P = 28 \, \text{см}$ и $d = 10 \, \text{см}$. Теперь можем решить систему уравнений:

$\begin{cases} 2a + 2b = 28 \\ a^2 + b^2 = 10^2 \end{cases}$

Для начала решим первое уравнение относительно $b$:

$b = 14 - a$

Теперь подставим $b$ во второе уравнение:

$a^2 + (14 - a)^2 = 100$

Раскроем скобки:

$a^2 + 196 - 28a + a^2 = 100$

Соберем квадратные члены:

$2a^2 - 28a + 96 = 0$

Поделим все на 2, чтобы упростить выражение:

$a^2 - 14a + 48 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем разложить его на множители или использовать квадратное уравнение:

$a = \frac{-(-14) \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 48}}{2}$

$a = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 192}}{2}$

$a = \frac{14 \pm \sqrt{4}}{2}$

Теперь вычислим два возможных значения $a$:

1. $a_1 = \frac{14 + 2}{2} = 8$
2. $a_2 = \frac{14 - 2}{2} = 6$

Теперь найдем соответствующие значения $b$:

1. $b_1 = 14 - a_1 = 14 - 8 = 6$
2. $b_2 = 14 - a_2 = 14 - 6 = 8$

У нас есть две пары значений для сторон прямоугольника: $a_1 = 8$ см, $b_1 = 6$ см и $a_2 = 6$ см, $b_2 = 8$ см. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его сторон:

1. Площадь первого прямоугольника $S_1 = a_1 \cdot b_1 = 8 \, \text{см} \cdot 6 \, \text{см} = 48 \, \text{см}^2$
2. Площадь второго прямоугольника $S_2 = a_2 \cdot b_2 = 6 \, \text{см} \cdot 8 \, \text{см} = 48 \, \text{см}^2$

Ответ: Площадь прямоугольника равна $48 \, \text{см}^2$.