Question

Найдите точку минимума y=-21x^2-x^3+32

Answer 1

$y=-21x^2-x^3+32\\y'=-42x-3x^2=-3x(x+14)$

При x∈(-14;0) y'>0

При x∈(-∞;-14)∪(0;+∞) y'<0

То есть в точке 0, производная меняет знак с минуса на плюс и как известно по разложению в этой точке производная равна нулю.

Значит -14 это координата по оси Ох точки минимума.

Ответ: -14.

Answer 2

Для того чтобы найти точку минимума функции y = -21x^2 - x^3 + 32, нужно найти значения x и y, при которых функция достигает своего минимального значения.

Шаг 1: Найдем производную функции по переменной x: y' = d/dx (-21x^2 - x^3 + 32)

Производная функции y равна: y' = -42x - 3x^2

Шаг 2: Найдем точки, где производная равна нулю, чтобы определить стационарные точки: -42x - 3x^2 = 0

Шаг 3: Решим уравнение: -3x(x + 14) = 0

Таким образом, x = 0 или x = -14.

Шаг 4: Для определения, является ли точка минимумом или максимумом, проведем вторую производную тестирование. Найдем вторую производную функции:

y'' = d^2/dx^2 (-21x^2 - x^3 + 32)

y'' = -42 - 6x

Шаг 5: Подставим найденные значения x во вторую производную:

y''(0) = -42 - 6(0) = -42 y''(-14) = -42 - 6(-14) = 18

Шаг 6: Анализ результатов второй производной:

• Если y''(x) > 0, то это точка минимума.
• Если y''(x) < 0, то это точка максимума.
• Если y''(x) = 0, то тест не дает однозначного ответа.

В нашем случае, y''(0) < 0, а y''(-14) > 0. Это означает, что точка x = -14 является точкой минимума, а x = 0 - точкой максимума.

Шаг 7: Найдем значение y при x = -14:

y = -21(-14)^2 - (-14)^3 + 32 y = -21(196) + 2744 + 32 y = -4116 + 2776 y = -1340

Таким образом, точка минимума функции y=-21x^2-x^3+32 находится при x = -14, y = -1340.