Question

Имеет ли уравнение x^2+14x+7=0 корни, и если имеет, определите их знаки. а) оба отрицательные б) нет корней в) оба положительные г) разных знаков​

Answer 1

Решим через D1:

$d_{1} = {( \frac{b}{2}) }^{2} - ac = {7}^{2} - 1 \times 7 = \\ = 49 - 7 = 42$

Корни:

$x_{1} = \frac{ \frac{ - b}{2} - \sqrt{ d_{1} } }{a} = \frac{ - 7 - \sqrt{42} }{1} = \\ = - 7 - \sqrt{42} < 0$

$x_{1} = \frac{ \frac{ - b}{2} + \sqrt{ d_{1} } }{a} = \frac{ - 7 + \sqrt{42} }{1} = \\ = - 7 + \sqrt{42} < 0$

Т. к.

$\sqrt{42} < \sqrt{49} \\ \sqrt{42} < 7 \\ - 7 + \sqrt{42} < 0$

Ответ: а).

Answer 2

Для определения наличия корней и их знаков в уравнении x^2 + 14x + 7 = 0, мы можем воспользоваться дискриминантом уравнения. Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где у нас есть уравнение вида ax^2 + bx + c = 0.

В нашем уравнении a = 1, b = 14 и c = 7, поэтому дискриминант равен:

D = 14^2 - 4 * 1 * 7 = 196 - 28 = 168.

Теперь посмотрим на значение дискриминанта:

1. Если D > 0, у уравнения есть два различных корня.
2. Если D = 0, у уравнения есть один корень (они равны).
3. Если D < 0, у уравнения нет действительных корней (корни комплексные).

В нашем случае D = 168, что является положительным значением, таким образом, у уравнения есть два различных действительных корня. Теперь определим их знаки:

Чтобы определить знаки корней, нам нужно решить уравнение x^2 + 14x + 7 = 0. Для этого можно воспользоваться формулой квадратного корня:

x = (-b ± √D) / 2a.

Для нашего уравнения это будет:

x = (-14 ± √168) / 2.

Теперь вычислим значения корней:

x₁ = (-14 + √168) / 2 ≈ -0.297, x₂ = (-14 - √168) / 2 ≈ -13.703.

Оба корня отрицательны, поэтому ответ: а) оба отрицательные.