Question

25 БАЛЛОВ. Используя графический метод, найдите значения параметра, при которых система имеет: а) ровно два решения, б) ровно три решения.

Answer 1

Ответ: 2 решения :   a∈ {-3*√2} ∪ (-3;3)

            3 решения :   a=-3

Объяснение:

Первое уравнение системы:

y=|x|+a -два луча выходящие из точки (0;a) в направлении выше прямой y=a  под углом 45 градусов к осям координат. (y=+-x)

В зависимости от а, точка выхода лучей едет по оси y.

Второе  уравнение:

x^2+y^2=3^2  -окружность  с центром в начале координат и  радиусом R=3.

Найдем такое а, что график  первого уравнения касается окружности в двух точках (5 случай на рисунке). Это  предельный случай.

Тк  радиус перпендикулярен к точке касания, а луч наклонен под углом 45 градусов к оси x, то и радиус проведенный к точке касания наклонен  под углом: 90-45=45 градусов к оси x.

Откуда:

a=-R/cos(45)= -3*√2

На  рисунке  мы видим  5  случаев  пересечений графика первого уравнения  с окружностью.

Рассмотрим каждый:

1.  a=3 - ( 1  решение )

2) a∈ (-3;3) - (2 решения)

3) a=-3  - (3 решения)

4) a∈ (-3*√2 ;-3)  - (4 решения)

5) a= -3*√2  -(2 решения)

При всех остальных a решений  не будет.

Таким образом можно записать ответ:

2 решения :   a∈ {-3*√2} ∪ (-3;3)

3 решения :   a=-3

Answer 2

Для нахождения значений параметра, при которых система имеет ровно два или три решения, предположим, что у нас есть система уравнений, зависящая от параметра $p$:

$$\begin{cases} y = x^2 + px + 1, \\ y = 2x - p. \end{cases}$$

Для графического метода нам нужно построить графики обеих функций на одной координатной плоскости и найти точки их пересечения.

а) Чтобы найти значения параметра $p$, при которых система имеет ровно два решения, графики функций $y = x^2 + px + 1$ и $y = 2x - p$ должны пересекаться в двух различных точках. Другими словами, уравнение $x^2 + px + 1 = 2x - p$ должно иметь два корня.

b) Чтобы найти значения параметра $p$, при которых система имеет ровно три решения, графики функций $y = x^2 + px + 1$ и $y = 2x - p$ должны пересекаться в трех различных точках. Другими словами, уравнение $x^2 + px + 1 = 2x - p$ должно иметь три корня.

Давайте решим эти уравнения для каждого случая:

а) Ровно два решения:

$x^2 + px + 1 = 2x - p$

Приведем все в одну сторону:

$x^2 + px + 1 - 2x + p = 0$

$x^2 + (p-2)x + (1+p) = 0$

Для того, чтобы уравнение имело два корня, дискриминант должен быть положительным:

$D = (p-2)^2 - 4(1+p) > 0$

$p^2 - 4p + 4 - 4 - 4p > 0$

$p^2 - 8p > 0$

$p(p - 8) > 0$

Таким образом, для ровно двух решений, параметр $p$ должен удовлетворять неравенству $p < 0$ или $p > 8$.

б) Ровно три решения:

$x^2 + px + 1 = 2x - p$

Приведем все в одну сторону:

$x^2 + px + 1 - 2x + p = 0$

$x^2 + (p-2)x + (1+p) = 0$

Для того, чтобы уравнение имело три корня, дискриминант должен быть равен нулю:

$D = (p-2)^2 - 4(1+p) = 0$

$p^2 - 4p + 4 - 4 - 4p = 0$

$p^2 - 8p = 0$

$p(p - 8) = 0$

Таким образом, для ровно трех решений, параметр $p$ должен быть равен нулю или $p = 8$.

Итак, значения параметра $p$ при которых система имеет: а) Ровно два решения: $p < 0$ или $p > 8$. б) Ровно три решения: $p = 0$ или $p = 8$.