Question

Исследовать функцию : 2x*2/1+x*2 Полный ответ пожалуйста. Заранее спасибо

Answer 1

Анализ функции 2x²/(1+x²), её график и таблица точек для )построения приведены в приложении (страница 7).

Answer 2

Для исследования функции $f(x) = \frac{2x^2}{1+x^2}$, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции.
2. Найти производную функции.
3. Найти точки пересечения с осями координат.
4. Найти интервалы возрастания и убывания.
5. Найти экстремумы функции (если они существуют).
6. Изучить выпуклость и вогнутость функции.
7. Найти пределы функции при $x$ стремящемся к плюс/минус бесконечности.

Давайте начнем:

1. Область определения функции: Выражение $1+x^2$ не может быть равно нулю, так как это приведет к делению на ноль, что недопустимо. Таким образом, область определения функции - все значения $x$, кроме $x = \pm i$, где $i$ - мнимая единица ($i^2 = -1$).

2. Найдем производную функции: Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного:

   $f'(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{2x^2}{1+x^2}\right)$

   Применяем правило дифференцирования частного $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

   $f'(x) = \frac{(2x^2)'(1+x^2) - 2x^2(1+x^2)'}{(1+x^2)^2}$

   Упрощаем:

   $f'(x) = \frac{(4x)(1+x^2) - 2x^2(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{4x + 4x^3 - 4x^3}{(1+x^2)^2} = \frac{4x}{(1+x^2)^2}$

3. Найдем точки пересечения с осями координат: a) При $x = 0$: $f(0) = \frac{2\cdot 0^2}{1+0^2} = 0$. Таким образом, функция проходит через начало координат (0, 0).

4. Найдем интервалы возрастания и убывания: Для этого определим знак производной $f'(x)$: $f'(x) = \frac{4x}{(1+x^2)^2}$

   Когда $x > 0$, производная $f'(x)$ положительна (так как числитель и знаменатель положительны). Когда $x < 0$, производная $f'(x)$ отрицательна (так как числитель отрицательный, а знаменатель положительный).

   Таким образом, функция возрастает на интервале $(-\infty, 0)$ и убывает на интервале $(0, \infty)$.

5. Найдем экстремумы функции: Чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение $f'(x) = 0$:

   $\frac{4x}{(1+x^2)^2} = 0$

   Так как дробь равна нулю только тогда, когда числитель равен нулю:

   $4x = 0 \implies x = 0$

   Таким образом, у функции есть стационарная точка в $x = 0$.

6. Изучим выпуклость и вогнутость функции: Чтобы определить выпуклость и вогнутость функции, найдем вторую производную:

   $f''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{4x}{(1+x^2)^2}\right)$

   Продифференцируем:

   $f''(x) = \frac{(4x)'(1+x^2)^2 - 4x(1+x^2)^2}{(1+x^2)^4}$