Question

При якому значенні a система має безліч розв'язків? {(x+ay=a+1), (-ax-4y=a):}

Answer 1

Система має безліч розв'язків, якщо відношення відповідних коефіцієнтів рівнянь між собою рівні:

-1/a = -a/4 = (a + 1)/a;

-1/a = -a/4; a² = 4; a₁ = 2; a₂ = -2.

При значеннях a₁ = 2; a₂ = -2 перші два відношення дорівнюють 1/2.

Перевіримо, при якому з цих значень а третє відношення буде дорівнювати 1/2.

Якщо a₁ = 2, то (a + 1)/a = 3/2, а якщо a₂ = -2, то (a + 1)/a = 1/2.

Отже, при a₂ = -2 дана система має безліч розв'язків.

Answer 2

Для того, щоб система мала безліч розв'язків, необхідно і достатньо, щоб умова відповідала системі з лінійно залежними рівняннями.

Запишемо систему рівнянь:

1. $x + ay = a + 1$
2. $-ax - 4y = a$

Для того, щоб рівняння були лінійно залежними, одне з них має бути можливо представлено як лінійна комбінація іншого. Для цього знайдемо відношення між $a$, $x$ і $y$, яке допоможе нам виконати цю умову.

Можемо помножити перше рівняння на $4$ і додати до другого: $4(x + ay) + (-ax - 4y) = 4(a + 1) + a$ $4x + 4ay - ax - 4y = 4a + 4 + a$ $3x + 4ay - 4y = 5a + 4$

Тепер виразимо $x$ через $a$ і $y$: $x = \frac{5a + 4 - 4ay}{3}$

Тепер маємо умову, яка повинна виконуватися для безлічі розв'язків: вираз для $x$ не повинен залежати від $a$ і $y$.

У зв'язку з цим, щоб система мала безліч розв'язків, вираз для $x$ має бути тотожньо рівним деякій константі $C$.

$x = C$

Тепер підставимо це у вираз для $x$ через $a$ і $y$:

$C = \frac{5a + 4 - 4ay}{3}$

Тепер розв'яжемо це рівняння відносно $a$:

$5a + 4 - 4ay = 3C$ $5a - 4ay = 3C - 4$ $a(5 - 4y) = 3C - 4$ $a = \frac{3C - 4}{5 - 4y}$

Отже, для безлічі розв'язків системи, вираз $a$ повинен бути тотожньо рівним деякій константі. Це можливо тільки тоді, коли $5 - 4y = 0$.

$5 - 4y = 0$ $4y = 5$ $y = \frac{5}{4}$

Таким чином, коли $y = \frac{5}{4}$, система має безліч розв'язків. У цьому випадку, значення $a$ може бути будь-яким, існують безліч різних значень $x$ і $a$ таких, що задовольнять обом рівнянням системи.