Question

Знайдіть площу фігури обмеженої лініями y=x^2; y=x

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

y=x²      y=x     S?

x²=x       x²-x=0     x*(x-1)=0      x₁=0      x₂=1   ⇒

S=₀∫¹(x-x²)dx=((x²/2)-(x³/3)) ₀|¹=1²/2-1³/3-0=(1/2)-(1/3)=(3*1*-2*1)/6=1/6≈0,167.

Ответ: S≈0,167 кв. ед.

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої лініями y = x^2 та y = x, потрібно обчислити відповідний інтеграл за відповідними межами.

Спочатку знайдемо точки перетину двох кривих:

y = x^2 --> x^2 = x --> x^2 - x = 0 --> x(x - 1) = 0

З отриманих рівнянь, ми знаходимо дві точки перетину: x = 0 та x = 1.

Тепер, для обчислення площі між цими двома кривими, ми можемо скористатися інтегралом від (y = x^2) до (y = x) з межами від x = 0 до x = 1:

Площа = ∫[0, 1] (x - x^2) dx

Знайдемо цей інтеграл:

Площа = [x^2/2 - x^3/3] [0, 1] Площа = [(1^2/2) - (1^3/3)] - [(0^2/2) - (0^3/3)] Площа = [1/2 - 1/3] - [0] Площа = 1/6

Отже, площа фігури обмеженої лініями y = x^2 та y = x дорівнює 1/6 одиниць площі.