Question

Найдите рациональные корни многочлена x^3-8x^2+5x+14​

Answer 1

$x^3-8x^2+5x+14=\\x^3-7x^2-x^2+7x-2x+14=\\x^2(x-7)​ -x(x-7)-2(x-7)=\\(x-7)(x^2-x-2)=\\(x-7)(x^2-2x+x-2)=\\(x-7)[x(x-2)+(x-2)]=\\(x-7)(x-2)(x+1)$

Ответ: - 1; 2; 7

Answer 2

Для поиска рациональных корней многочлена x^3 - 8x^2 + 5x + 14, мы можем воспользоваться рациональной теоремой корней (Rational Root Theorem). Эта теорема утверждает, что любой рациональный корень многочлена с целыми коэффициентами будет иметь вид p/q, где p - делитель свободного члена (в данном случае 14), а q - делитель старшего коэффициента (в данном случае 1).

Таким образом, нам нужно найти все делители числа 14 (положительные и отрицательные), чтобы проверить, есть ли среди них рациональные корни. Делители числа 14: ±1, ±2, ±7, ±14.

Теперь, чтобы проверить каждый из этих делителей, можем подставить их в многочлен и проверить, равен ли результат нулю:

1. Подставим x = 1: (1)^3 - 8(1)^2 + 5(1) + 14 = 1 - 8 + 5 + 14 = 12 (не равно 0)

2. Подставим x = -1: (-1)^3 - 8(-1)^2 + 5(-1) + 14 = -1 - 8 - 5 + 14 = 0

Таким образом, мы нашли рациональный корень x = -1. Теперь, чтобы найти остальные корни, мы можем поделить многочлен на (x + 1) с помощью синтетического деления или долгого деления.

Синтетическое деление:

luaCopy code
       -1 | 1  -8  5  14
          |    -1  9  -14
       -----------------
           1  -9  14   0

Таким образом, после синтетического деления получаем многочлен x^2 - 9x + 14. Теперь, чтобы найти остальные корни, решим уравнение x^2 - 9x + 14 = 0 с помощью квадратного уравнения:

x = (9 ± √(9^2 - 4114)) / 2 x = (9 ± √(81 - 56)) / 2 x = (9 ± √25) / 2 x = (9 ± 5) / 2

Таким образом, получаем два дополнительных рациональных корня:

1. x = (9 + 5) / 2 = 14 / 2 = 7
2. x = (9 - 5) / 2 = 4 / 2 = 2

Таким образом, все рациональные корни многочлена x^3 - 8x^2 + 5x + 14: -1, 7 и 2.