Question

Решите уравнение: sin^4 x+cos^4 x=2cos2x

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

2cos2x=2(cos^2x+sin^2x)(cos^2x-sin^2x)=2(cos^4x-sin^4x)

sin^4x+cos^4x=2cos^4x-2sin^4x

3sin^4x=cos^4x

tg^4x=1/3

tgx=(1/3)^1/4

x=arctg((1/3)^1/4)

sin^2x/cos^2x=1/√3

sin^2x/(1-sin^2x)=1/√3

√3sin^2x=1-sin^2x

sin^2x=1/(√3+1)=(√3-1)/2

cos2x=1-2sin^2x=1-√3+1=2-√3

2x=+-arccos(2-√3)+2Пk

x=+-1/2arccos(2-√3)+Пk

Answer 2

Для решения данного уравнения, нам потребуется использовать тригонометрические тождества. Начнем с преобразования правой части уравнения, используя формулу двойного угла для косинуса:

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Теперь заменим cos^4(x) и 2cos(2x) в исходном уравнении:

sin^4(x) + cos^4(x) = 2cos(2x) sin^4(x) + (2cos^2(x) - 1) = 2(2cos^2(x) - 1)

Раскроем скобки:

sin^4(x) + 2cos^2(x) - 1 = 4cos^2(x) - 2

Теперь приведем подобные члены:

sin^4(x) - 2cos^2(x) = -1

Теперь применим формулу для разности квадратов:

(sin^2(x) - √2cos(x))(sin^2(x) + √2cos(x)) = -1

Теперь давайте рассмотрим два случая:

1. (sin^2(x) - √2cos(x)) = -1 и (sin^2(x) + √2cos(x)) = 1

Из первого уравнения:

sin^2(x) - √2cos(x) = -1 sin^2(x) = √2cos(x) - 1

Также, из второго уравнения:

sin^2(x) + √2cos(x) = 1

Вычтем первое уравнение из второго:

(sin^2(x) + √2cos(x)) - (sin^2(x) - √2cos(x)) = 1 - (-1)

2√2cos(x) = 2

cos(x) = 1/√2

Отсюда получаем x:

x = π/4 + 2πn, где n - целое число.

2. (sin^2(x) - √2cos(x)) = 1 и (sin^2(x) + √2cos(x)) = -1

Этот случай не имеет решений, так как нельзя получить отрицательное значение для синуса квадрата.

Таким образом, решением исходного уравнения является:

x = π/4 + 2πn, где n - целое число.