Question

Різниця двох суміжних сторін прямокутника дорівнює 23 см, а діагональ — 37 см. Знайти периметр цього прямокутника.

Answer 1

Одна сторона буде х см, а інша (х + 23) см. Ці сторони разом з діагоналлю  (37 см) утворюють прямокутний трикутник. Скориставшись т. Піфагора, складаємо рівняння: х² + (х + 23)² = 37².

х² + х² + 23² + 46х = 37²;

2х² + 46х + 23² - 37² = 0;

2х² + 46х + (23 - 37)(23 + 37) = 0;

2х² + 46х  - 14·60 = 0;

х² + 23х  - 14·30 = 0;

x₁ = 35; x₂ = 12.

Отже, одна сторона буде 35 см, або 12 см, тоді друга сторона буде 35 - 23 = 12 см або 35 - 12 = 23 см. Тобто маємо прямокутник із сусідніми сторонами 35 см і 12 см, периметр якого дорівнює 2(35 + 12) = 94 см.

Відповідь: 94 см.

Answer 2

Позначимо сторони прямокутника як a і b, де a > b. За умовою задачі, маємо наступні відомості:

1. Різниця двох суміжних сторін прямокутника дорівнює 23 см: a - b = 23.

2. Діагональ прямокутника дорівнює 37 см: діагональ = 37.

Можемо скористатися теоремою Піфагора, яка відноситься до прямокутних трикутників:

діагональ^2 = a^2 + b^2.

Підставимо відомі значення:

37^2 = a^2 + b^2.

Також маємо рівняння, отримане з першої відомості:

a - b = 23.

Можна вирішити цю систему рівнянь, щоб знайти значення сторін a і b.

Метод 1: Заміна змінних.

Позначимо a + b = x (сума двох сторін).

Знаємо, що a - b = 23.

Додамо обидва рівняння разом:

(a + b) + (a - b) = x + 23,

2a = x + 23.

Тепер знаємо, що x = 2a - 23.

Метод 2: Метод підстановки.

Маємо систему рівнянь:

1. a - b = 23,
2. 37^2 = a^2 + b^2.

Розв'яжемо перше рівняння відносно a:

a = 23 + b.

Підставимо в друге рівняння:

37^2 = (23 + b)^2 + b^2.

Розкриємо дужки та спростимо:

1369 = 529 + 46b + b^2 + b^2.

Зведемо до квадратного рівняння:

2b^2 + 46b - 840 = 0.

Розв'яжемо це квадратне рівняння для b:

b = (-46 ± √(46^2 - 4 * 2 * (-840))) / 2 * 2 b = (-46 ± √(2116 + 6720)) / 4 b = (-46 ± √8836) / 4 b = (-46 ± 94) / 4.

Так як b не може бути від'ємним, інтересує нас позитивне значення b:

b = (94 - 46) / 4 b = 48 / 4 b = 12.

Тепер знаючи b, знайдемо a за допомогою першого рівняння:

a = 23 + b a = 23 + 12 a = 35.

Тепер ми знаємо, що сторони прямокутника дорівнюють a = 35 см і b = 12 см.

Периметр прямокутника дорівнює:

Периметр = 2 * (a + b) = 2 * (35 + 12) = 2 * 47 = 94 см.