Question

Найти радиус окружности, в которую можно вписать прямоугольник максимальной площади с периметром 56 см. Использовать производную.

Answer 1

Пусть стороны прямоугольника равны х см и 28 - х см. Тогда площадь прямоугольника S(x) = x(28 - x), где x ∈ [0; 28].

S(x) = 28х - x².

S'(x) = (28х - x²)' = 28 - 2x;

S'(x) = 0;

28 - 2x = 0;

x = 14.

S(0) = 0;

S(14) = 28·14 - 14² = 14(28 - 14) = 14² = 196

S(28) = 28·28 - 28² = 28² - 28² = 0

Наибольшую площадь имеет прямоугольник с сторонами по 14 см т.е. квадрат. Центр окружности описанной около квадрата есть точкой пересечения его диагоналей и радиус этой окружности равен половине диагонали. Диагональ квадрата равна 14√2 см, а радиус равен 7√2 см.

Ответ: 7√2 см.

Answer 2

Чтобы найти радиус окружности, в которую можно вписать прямоугольник максимальной площади с заданным периметром, давайте следуем следующим шагам:

1. Предположим, что прямоугольник имеет стороны a и b, а радиус окружности - r.

2. Для прямоугольника с заданным периметром: 2a + 2b = 56 см.

3. Выразим одну из переменных в зависимости от другой: b = 28 - a.

4. Теперь площадь прямоугольника S(a) можно выразить через a и r: S(a) = a * (28 - a) = 28a - a^2.

5. Для нахождения максимальной площади, найдем производную S'(a) и приравняем её к нулю: S'(a) = 28 - 2a = 0.

6. Решим уравнение относительно a: 28 - 2a = 0 => 2a = 28 => a = 14.

7. Теперь, чтобы найти соответствующее значение b, подставим a обратно в уравнение b = 28 - a: b = 28 - 14 = 14.

8. Таким образом, стороны прямоугольника равны a = 14 см и b = 14 см, а его максимальная площадь S_max равна S(14) = 14 * 14 = 196 квадратных сантиметров.

9. Чтобы найти радиус окружности, диагональ которой равна диагонали прямоугольника (т.е. его диаметр), воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника: r^2 = (a/2)^2 + (b/2)^2.

10. Подставим значения a = 14 и b = 14: r^2 = (14/2)^2 + (14/2)^2 = 7^2 + 7^2 = 49 + 49 = 98.

11. Наконец, найдем радиус окружности r: r = √(98) ≈ 9.90 см (округляем до двух знаков после запятой).

Ответ: радиус окружности, в которую можно вписать прямоугольник максимальной площади при заданном периметре 56 см, составляет около 9.90 см.