Question

ПОМОГИТЕ!! СРОЧНО ПОЖАЛУЙСТАнайдите точки экстремума и минимума у функций y=x^2(x-2)^2 ​

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

пусть f0(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие:  

f'0(x*) = 0  

f''0(x*) > 0  

то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции.  

Если в точке x* выполняется условие:  

f'0(x*) = 0  

f''0(x*) < 0  

то точка x* - локальный (глобальный) максимум.  

Решение.  

Находим первую производную функции:  

y' = x2(2x-4)+2x(x-2)2  

или  

y' = 4x(x-2)*(x-1)  

Приравниваем ее к нулю:  

4x(x-2)*(x-1) = 0  

x1 = 0  

x2 = 1  

x3 = 2  

Вычисляем значения функции  

f(0) = 0  

f(1) = 1  

f(2) = 0  

Ответ:  

fmin = 0, fmax = 1  

Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:  

y'' = 2x2+4x(2x-4)+2(x-2)2  

или  

y'' = 12x2-24x+8  

Вычисляем:  

y''(0) = 8>0 - значит точка x = 0 точка минимума функции.  

y''(1) = -4<0 - значит точка x = 1 точка максимума функции.  

y''(2) = 8>0 - значит точка x = 2 точка минимума функции.  

Answer 3

Для нахождения точек экстремума и минимума функции y = x^2(x - 2)^2, необходимо взять производную функции, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение.

Давайте начнем с нахождения первой производной функции:

y = x^2(x - 2)^2

Берем производную по x:

dy/dx = 2x(x - 2)^2 + x^2 * 2(x - 2)

Упрощаем выражение:

dy/dx = 2x(x - 2)[(x - 2) + x]

dy/dx = 2x(x - 2)(2x - 2)

Теперь приравняем полученную производную к нулю и решим уравнение:

2x(x - 2)(2x - 2) = 0

Если произведение равно нулю, то один из множителей должен быть равен нулю:

2x = 0 => x = 0

x - 2 = 0 => x = 2

2x - 2 = 0 => 2x = 2 => x = 1

Таким образом, получили три значения x: x = 0, x = 1 и x = 2.

Теперь подставим эти значения обратно в исходную функцию для нахождения соответствующих значений y:

При x = 0: y = 0^2(0 - 2)^2 = 0

При x = 1: y = 1^2(1 - 2)^2 = 1

При x = 2: y = 2^2(2 - 2)^2 = 0

Таким образом, точки экстремума и минимума функции y = x^2(x - 2)^2:

1. Минимум при x = 0: (0, 0)
2. Минимум при x = 1: (1, 1)
3. Минимум при x = 2: (2, 0)