Question

Решите уравнение sin(п/2+x)=sin(-2x) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0;п]

Answer 1

$sin(\frac{\pi }{2} +x)=sin(-2x)\\cosx=-2sinxcosx\\cosx-2sinxcosx=0\\cosx(1-2sinx)=0\\cosx=0; x=\frac{\pi }{2} +\pi k$, при k∈Z

или

$1-2sinx=0\\sinx=\frac{1}{2}\\x=\frac{\pi }{6} +2\pi k; x=\frac{5\pi }{6} +2\pi k$, при k∈Z

Ответ:

a)$\frac{\pi }{6} +2\pi k$, $\frac{5\pi }{6} +2\pi k$, $\frac{\pi }{2} +\pi k$, при k∈Z

б)$\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{2}$, $\frac{5\pi }{6}$

Answer 2

Для решения уравнения sin(π/2 + x) = sin(-2x) и нахождения корней, принадлежащих промежутку [0, π], мы будем использовать тригонометрические тождества.

1. Тождество синуса: sin(π/2 + x) = cos(x)
2. Тождество синуса: sin(-2x) = -sin(2x) = -2sin(x)cos(x)

Таким образом, уравнение примет вид: cos(x) = -2sin(x)cos(x)

Теперь рассмотрим два случая:

Случай 1: cos(x) ≠ 0 В этом случае можно сократить на cos(x):

1 = -2sin(x)

sin(x) = -1/2

Находим общие значения для sin(x) равные -1/2 на интервале [0, π]:

x₁ = 7π/6 x₂ = 11π/6

Случай 2: cos(x) = 0 Так как мы ищем значения x, принадлежащие промежутку [0, π], то учитываем только те x, для которых cos(x) = 0 и 0 ≤ x ≤ π:

x = π/2

Таким образом, все корни уравнения, принадлежащие промежутку [0, π], равны: x₁ = 7π/6 x₂ = 11π/6 x₃ = π/2

Пожалуйста, обратите внимание, что я использовал упрощенные значения, как, например, sin(π/6) = 1/2 и cos(π/6) = √3/2, чтобы получить ответы в числовом виде.