Question

Помогите решить пожалуйста x^7*(x^2+8x+7)<0​

Answer 1

x⁷(x² + 8x + 7) < 0

x⁷(x + 7)(x + 1) < 0

       -                    +                -                    +

_________₀________₀________₀_________

                 - 7                - 1                0

//////////////////                    ////////////////

x ∈ (- ∞ ; - 7) ∪ (- 1 ; 0)

Answer 2

Чтобы решить это неравенство, нужно рассмотреть различные интервалы, на которых оно может быть выполнено. Для этого нужно проанализировать знаки выражения $x^7 \cdot (x^2+8x+7)$.

Начнем с решения $x^7 = 0$. Так как степень равна 7, это дает нам один корень $x = 0$. Однако, так как в неравенстве есть строгий знак меньше нуля ($<0$), это значит, что значение функции должно быть отрицательным, а не равным нулю. Поэтому $x = 0$ не является решением неравенства.

Теперь рассмотрим знак выражения $(x^2+8x+7)$. Мы можем определить его, найдя корни этого квадратного трехчлена. Решим уравнение $x^2+8x+7 = 0$ с помощью квадратного корня.

Сначала посчитаем дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36.$

Дискриминант $D$ положительный, поэтому у уравнения есть два различных корня: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 6}{2} = -7,$ $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 6}{2} = -1.$

Теперь мы знаем, что квадратное трехчлен $(x^2+8x+7)$ имеет знак "+" между корнями $-7$ и $-1$ и знак "-" за пределами этих корней.

Теперь объединим информацию о знаках $x^7$ и $(x^2+8x+7)$ для решения исходного неравенства $x^7 \cdot (x^2+8x+7) < 0$.

1. Если $x < -7$, то оба множителя отрицательны. Умножение двух отрицательных чисел дает положительный результат. Поэтому в этом интервале неравенство не выполняется.

2. Если $-7 < x < -1$, то первый множитель $x^7$ отрицателен, а второй множитель $(x^2+8x+7)$ положителен. Умножение отрицательного числа на положительное дает отрицательный результат. Поэтому в этом интервале неравенство выполняется.

3. Если $x > -1$, то оба множителя положительны. Умножение двух положительных чисел дает положительный результат. Поэтому в этом интервале неравенство не выполняется.

Таким образом, решением исходного неравенства $x^7 \cdot (x^2+8x+7) < 0$ является интервал $-7 < x < -1$.