Question

Помогите решить. (4sin(2x)sin(5x)sin(7x))/sin(4x)=1.

Answer 1

Ответ:

$x = \dfrac{\pi}{24} + \dfrac{\pi n}{12}, n \in \mathbb{Z}$

Объяснение:

$\dfrac{4 \sin{2x} \sin{5x} \sin{7x}}{\sin{4x}} = 1$

Запишем ОДЗ:

$\sin{4x} \not = 0 \\ 4x \not = \pi m, m \in \mathbb{Z} \\ x \not = \dfrac{\pi m}{4}, m \in \mathbb{Z}$

Перепишем уравнение в удобном виде и начнём преобразовывать:

$4 \sin{2x} \sin{5x} \sin{7x} = \sin{4x} \\ 4 \sin{2x} \sin{5x} \sin{7x} - 2 \sin{2x} \cos{2x} = 0 \\ \sin{2x} ( 2 \sin{5x} \sin{7x} - \cos{2x}) = 0$

Первый случай:

$\sin{2x} = 0 \\ 2x = \pi k, k \in \mathbb{R} \\ x = \dfrac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{R}$

Однако, решение, полученное в этом случае, полностью противоречит ОДЗ, так что отсюда никаких $x$ не берём.

Второй случай:

$2 \sin{5x} \sin{7x} - \cos{2x} = 0 \\ \cos{2x} - \cos{12x} - \cos{2x} = 0 \\ \cos{12x} = 0 \\ 12x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \\ x = \dfrac{\pi}{24} + \dfrac{\pi n}{12}, n \in \mathbb{Z}$

В данном случае решения не пересекаются с ОДЗ, значит записываем всё в ответ.

Answer 2

Для решения уравнения (4sin(2x)sin(5x)sin(7x))/sin(4x) = 1, давайте выполним следующие шаги:

1. Приведем все тригонометрические функции к виду синуса и косинуса.
2. Применим тригонометрические тождества для упрощения уравнения.
3. Решим получившееся уравнение.

Шаг 1: Приведение к синусам и косинусам. Используем следующие тригонометрические тождества:

• sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
• sin(5x) = (1/2)(cos(4x) - cos(6x))
• sin(7x) = (1/2)(cos(6x) - cos(8x))

Заменим синусы в уравнении и упростим: (4 * 2sin(x)cos(x) * (1/2)(cos(4x) - cos(6x)) * (1/2)(cos(6x) - cos(8x))) / sin(4x) = 1

Шаг 2: Упрощение уравнения. Упростим числитель и знаменатель уравнения, умножим числитель и знаменатель на 2 и отбросим общий множитель 2:

(sin(x)cos(x))(cos(4x) - cos(6x))(cos(6x) - cos(8x)) / sin(4x) = 1

Шаг 3: Решение уравнения. Общими множителями в числителе являются sin(x) и cos(x), и мы можем использовать следующее тригонометрическое тождество:

sin(a)cos(b) = (1/2) * [sin(a + b) + sin(a - b)]

Применим тождество и продолжим упрощение:

[(1/2) * (sin(5x) + sin(3x))][(1/2) * (cos(10x) - cos(2x))] / sin(4x) = 1

Теперь у нас есть сумма и разность синусов в числителе, а также разность косинусов. Мы можем использовать следующее тригонометрическое тождество:

sin(a) + sin(b) = 2sin((a + b)/2)cos((a - b)/2)

Применим тождество еще раз:

[(1/2) * 2sin(4x)cos(4x)][(1/2) * (cos(10x) - cos(2x))] / sin(4x) = 1

Упростим уравнение, сократив 2 и sin(4x) в числителе:

cos(4x)(cos(10x) - cos(2x)) = sin(4x)

Теперь перенесем все на одну сторону уравнения:

cos(4x)(cos(10x) - cos(2x)) - sin(4x) = 0

Для дальнейшего решения давайте заменим косинусы на их эквиваленты в виде синусов:

cos(10x) - cos(2x) = 2sin((10x + 2x)/2)sin((10x - 2x)/2) = 2sin(6x)sin(4x)

Теперь уравнение примет вид:

cos(4x) * 2sin(6x)sin(4x) - sin(4x) = 0

Теперь можно сократить sin(4x) и привести уравнение к следующему виду:

cos(4x) * 2sin(6x) - 1 = 0

Теперь у нас есть тригонометрическое уравнение с одной переменной. Решим его:

2sin(6x) = 1

sin(6x) = 1/2

Теперь найдем все значения угла x, удовлетворяющие уравнению sin(6x) = 1/2. Мы знаем, что sin(pi/6) = 1/2. Также можно учесть, что sin(6x) имеет период 2pi, поэтому дополнительные решения будут следующими:

6x = pi/6 + 2pi * n (где n - целое число)

Таким образом, получаем:

x = (pi/6 + 2pi * n)/6, где n - целое число

Это представляет все возможные значения x, которые удовлетворяют исходному уравнению.