Question

30. Найти значение выражения (1+корень 17)cos 2x0 , где хо — наимень- ший положительный корень уравнения 2sin² x+cos 4x -2 = 0.​

Answer 1

$2\sin^2x+\cos 4x-2=0\\ \\ 2\cdot \dfrac{1-\cos 2x}{2}+2\cos^22x-1-2=0\\ \\ 2\cos^22x-\cos 2x-2=0$

Решаем как квадратное уравнение относительно cos2x

$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot (-2)=1+16=17$

$\cos 2x=\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}>1$ - уравнение решений не имеет.

$\cos 2x=\dfrac{1-\sqrt{17}}{4}$ откуда  $x=\pm\dfrac{1}{2}\arccos\dfrac{1-\sqrt{17}}{4}+\pi n,n \in \mathbb{Z}$

Наименьший положительный корень будет при n = 0 равны $\dfrac{1}{2}\arccos\dfrac{1-\sqrt{17}}{4}$

$(1+\sqrt{17})\cos 2x_0=(1+\sqrt{17})\cos \left(\arccos\dfrac{1-\sqrt{17}}{4}\right)=\\ \\ \\ =(1+\sqrt{17})\cdot \dfrac{1-\sqrt{17}}{4}=\dfrac{1^2-(\sqrt{17})^2}{4}=-\dfrac{16}{4}=-4$

Answer 2

Чтобы найти значение выражения (1 + корень 17)cos 2x0, нам сначала нужно найти значение х0, наименьшего положительного корня уравнения 2sin² x + cos 4x - 2 = 0.

Перепишем уравнение в виде: 2(1 - cos²x) + cos 4x - 2 = 0

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: 2 - 2cos²x + cos 4x - 2 = 0

Упростим: -2cos²x + cos 4x = 0

Факторизуем левую часть уравнения: cos x(-2cos x + cos 3x) = 0

Так как cos x не может быть равным нулю для всех значений x, мы рассматриваем только второй множитель: -2cos x + cos 3x = 0

Теперь найдем значения x, удовлетворяющие этому уравнению. Поскольку нам нужен наименьший положительный корень, мы можем использовать график функции для определения его приблизительного значения или воспользоваться численными методами, такими как метод половинного деления или метод Ньютона.

После нахождения значения х0 мы можем подставить его в выражение (1 + корень 17)cos 2x0, чтобы получить окончательный результат.