Question

Докажите, что произведение 1 × 2× 3× ... × 13 делится на (1+2+3...+13), а произведение 1×2×3×...×16 не делится на (1+2+3+...+16). Ребя, срочно нужна помощь. Распешите, будьте добры.

Answer 1

Посчитаем сумму от 1 до 13 и разложим на простые множители

(1+13) + (2+12) + ...+ (6+8) + 7 = 14*6 + 7  = 2*7*6 + 7 = 13*7  

Произведение от 1*2*3*...*6*7*...*11*12*13, куда входит 13 и 7, делится на 7*13

Посчитаем сумму от 1 до 16 и разложим на простые множители

(1+15) + (2+14) + ...+ (9+7) + 8 + 16 = 16*8 + 8 = 17*8

В разложение входит число 17, которое простое и его нет в произведении 1*2*3* .... *13*14*15*16  

Answer 2

Объяснение:

Тут все просто

1*2/(1+2)=2/3 не делится

1*2*3/(1+2+3)=6/6=1 да

1*2*3*4/(1+2+3+4)=24/10 нет

1*2*3*4*5/(1+2+3+4+5)=120/15=8 да

т.о. частное до нечётных делятся, до чётных не делятся

Answer 3

Докажем оба утверждения.

1. Докажем, что произведение 1 × 2 × 3 × ... × 13 делится на (1 + 2 + 3 + ... + 13):

Сначала вычислим сумму чисел от 1 до 13: 1 + 2 + 3 + ... + 13 = (13 × 14)/2 = 91

Теперь проверим, делится ли произведение 1 × 2 × 3 × ... × 13 на 91. Для этого нам нужно убедиться, что произведение кратно 91, то есть имеет остаток 0 при делении на 91.

Рассмотрим произведение: 1 × 2 × 3 × ... × 13 = 6227020800

Вычислим остаток от деления на 91: 6227020800 mod 91 = 0

Таким образом, произведение 1 × 2 × 3 × ... × 13 действительно делится на (1 + 2 + 3 + ... + 13).

2. Теперь докажем, что произведение 1 × 2 × 3 × ... × 16 не делится на (1 + 2 + 3 + ... + 16):

Вычислим сумму чисел от 1 до 16: 1 + 2 + 3 + ... + 16 = (16 × 17)/2 = 136

Теперь проверим, делится ли произведение 1 × 2 × 3 × ... × 16 на 136. Нам нужно убедиться, что произведение не кратно 136, то есть имеет ненулевой остаток при делении на 136.

Рассмотрим произведение: 1 × 2 × 3 × ... × 16 = 20922789888000

Вычислим остаток от деления на 136: 20922789888000 mod 136 = 16

Таким образом, произведение 1 × 2 × 3 × ... × 16 не делится на (1 + 2 + 3 + ... + 16), так как имеет остаток 16 при делении на 136.

Таким образом, мы доказали оба утверждения:

1. Произведение 1 × 2 × 3 × ... × 13 делится на (1 + 2 + 3 + ... + 13).
2. Произведение 1 × 2 × 3 × ... × 16 не делится на (1 + 2 + 3 + ... + 16).