Question

Доказать что число 16^11 - 2^39 делиться на 31. Подробно.

Answer 1

Объяснение:

на фотографии...........

Answer 2

Чтобы доказать, что число $16^{11} - 2^{39}$ делится на 31, мы можем воспользоваться свойством конгруэнтности.

Сначала рассмотрим числа 16 и 2 по модулю 31:

$16 \equiv -15 \pmod{31}$ $2 \equiv 2 \pmod{31}$

Теперь мы можем переписать исходное выражение с использованием конгруэнтности:

$16^{11} - 2^{39} \equiv (-15)^{11} - 2^{39} \pmod{31}$

Теперь нам нужно упростить каждое из чисел. Давайте начнем с $(-15)^{11}$. Мы можем использовать бином Ньютона, чтобы разложить этот член:

$(-15)^{11} = (-1)^{11} \cdot 15^{11} = -15^{11}$

Теперь давайте рассмотрим значение $15^{11}$. Мы можем представить его как произведение $15^5 \cdot 15^5 \cdot 15$:

$15^{11} = 15^5 \cdot 15^5 \cdot 15$

Теперь посмотрим на каждый из членов по отдельности:

$15^5 \equiv (-16)^5 \equiv (-1)^5 \cdot 16^5 \equiv -16^5 \pmod{31}$

Теперь используем бином Ньютона для $16^5$:

$16^5 = (2^4)^5 = 2^{20}$

Теперь сократим это число по модулю 31:

$2^{20} \equiv (2^5)^4 \equiv 32^4 \equiv 1^4 \equiv 1 \pmod{31}$

Теперь вернемся к предыдущему выражению:

$15^5 \equiv -16^5 \equiv -1 \pmod{31}$

Теперь мы можем вернуться к $15^{11}$:

$15^{11} = 15^5 \cdot 15^5 \cdot 15 \equiv -1 \cdot -1 \cdot 15 \equiv 15 \pmod{31}$

Теперь давайте вернемся к исходному выражению:

$16^{11} - 2^{39} \equiv (-15)^{11} - 2^{39} \equiv 15 - 2^{39} \pmod{31}$

Теперь давайте посмотрим на $2^{39}$:

$2^{39} = (2^4)^9 \cdot 2^3 = 16^9 \cdot 8$

Упростим $16^9$:

$16^9 = (2^4)^9 = 2^{36}$

Теперь сократим $2^{36}$ по модулю 31:

$2^{36} \equiv (2^5)^7 \equiv 32^7 \equiv 1^7 \equiv 1 \pmod{31}$

Теперь вернемся к предыдущему выражению:

$2^{39} \equiv 16^9 \cdot 8 \equiv 1 \cdot 8 \equiv 8 \pmod{31}$

Теперь мы можем вернуться к $16^{11} - 2^{39}$:

$16^{11} - 2^{39} \equiv 15 - 2^{39} \equiv 15 - 8 \equiv 7 \pmod{31}$