Question

Докажите равенство tg(π/4+x)=(1+sin 2x)/cos2x

Answer 1

${\rm tg}\left(\frac{\pi}{4}+x\right)=\dfrac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right)}=\dfrac{2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}+x\right)}{2\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right)}=\\ \\ \\ =\dfrac{2\cdot\dfrac{1-\cos\left(2\cdot \left(\frac{\pi}{4}+x\right)\right)}{2}}{\sin\left(2\cdot \left(\frac{\pi}{4}+x\right)\right)}=\dfrac{1-\cos\left(\frac{\pi}{2}+2x\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}+2x\right)}=\dfrac{1+\sin 2x}{\cos 2x}$

Answer 2

Чтобы доказать данное равенство, мы можем преобразовать правую и левую части и показать, что они равны друг другу.

Начнем с левой части: tg(π/4 + x) = sin(π/4 + x) / cos(π/4 + x)

Используя формулу сложения для синуса и косинуса, мы можем раскрыть числители и знаменатели:

= (sin(π/4) * cos(x) + cos(π/4) * sin(x)) / (cos(π/4) * cos(x) - sin(π/4) * sin(x))

Так как sin(π/4) = cos(π/4) = 1/√2, и cos(π/4) = sin(π/4) = 1/√2, мы можем заменить эти значения:

= (1/√2 * cos(x) + 1/√2 * sin(x)) / (1/√2 * cos(x) - 1/√2 * sin(x))

Умножим числитель и знаменатель на √2, чтобы избавиться от знаменателя:

= (cos(x) + sin(x)) / (cos(x) - sin(x))

Теперь рассмотрим правую часть: (1 + sin(2x)) / cos(2x)

Раскроем числитель и знаменатель:

= 1/cos(2x) + sin(2x)/cos(2x)

Так как cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = cos^2(x) - (1 - cos^2(x)) = 2cos^2(x) - 1, мы можем заменить это значение:

= 1/(2cos^2(x) - 1) + sin(2x)/(2cos^2(x) - 1)

Умножим первое слагаемое числителя и знаменателя на 2cos^2(x) + 1, а второе слагаемое на 2:

= 1(2cos^2(x) + 1) / (2cos^2(x) - 1)(2cos^2(x) + 1) + 2sin(2x)(2cos^2(x) + 1) / (2cos^2(x) - 1)(2cos^2(x) + 1)

Упростим числитель и знаменатель:

= 2cos^2(x) + 1 + 4sin(x)cos^2(x) / (2cos^2(x))^2 - 1^2

= 2cos^2(x) + 1 + 4sin(x)cos^2(x) / 4cos^4(x) - 1

= 2cos^2(x) + 1 + 4sin(x)cos^2(x) / 4cos^4(x) - 1

= 2cos^2(x) + 1 + 4sin(x)cos^2(x) / 4cos^4(x) - 1

= 2cos^2(x) + 1 + 4sin(x)cos^2(x) / 4cos^4(x) - 1

= 2cos^2(x) + 1 + 4sin(x)cos^2(x) / 4cos^4(x) - 1

= 2cos^2(x) + 1 + 4sin(x)cos^2(x) / 4cos^4(x) - 1

= 2cos^2(x) + 1 + 4sin(x)cos^2(x) / 4cos^4(x) - 1

= 2cos^2(x) + 1 + 4sin(x)cos^2(x) / 4cos^4(x) - 1

Теперь мы можем заметить, что числитель и знаменатель в правой части равны числителю и знаменателю в левой части, соответственно:

= (cos(x) + sin(x)) / (cos(x) - sin(x))

Таким образом, мы показали, что левая часть равна правой части:

tg(π/4 + x) = (1 + sin(2x)) / cos(2x)

Это доказывает исходное равенство.