Question

Решите уравнения в целых числах (^-возведение в степень) 1)x^2+y^2=4z-1 2)x^3+21y^2+5=0 3)x^2-7y=10

Answer 1

1) Справа нечетное число -> слева тоже -> четность x² и y² разная -> четность x и y разная.

Допустим, что x четное, а y нечетное(они взаимозаменяемы в данном уравнении, поэтому аналогичные рассуждения будут и для нечетного x)

Тогда x = 2k, y = 2l+1

Подставим: 4k²+4l²+4l+1=4z-1 ⇔ (k²+l²+l-z)=-1/2 - целое число равно не целому. Противоречие. А значит решений нет

2) Рассмотрим остатки от деления x³ на 7 в зависимости от остатка x при делении на 7: 0->0, 1->1, 2->1, 3->6, 4->1, 5->6, 6->6

С другой стороны, из условия получаем, что x³+5≡0(mod 7) -> x³≡2(mod 7). Противоречие. А значит решений нет.

3) Рассмотрим остатки от деления x² на 7 в зависимости от остатка x при делении на 7: 0->0, 1->1, 2->4, 3->2, 4->2, 5->4, 6->1

С другой стороны, из условия получаем, что x²≡3(mod 7). Противоречие. А значит решений нет.

Answer 2

Для решения уравнений в целых числах, воспользуемся методами диофантовых уравнений. Диофантовым уравнением называется уравнение, в котором ищутся целочисленные решения.

1. Уравнение: x^2 + y^2 = 4z - 1

В данном уравнении у нас три переменные, поэтому мы не можем однозначно найти все решения. Мы можем найти только некоторые частные решения. Одним из таких решений будет x = 1, y = 1, z = 1:

1^2 + 1^2 = 4 * 1 - 1 1 + 1 = 4 - 1 2 = 3 (неверно)

Это решение неверно. Это означает, что у этого уравнения нет целочисленных решений.

2. Уравнение: x^3 + 21y^2 + 5 = 0

Мы опять имеем уравнение с тремя переменными. Для таких уравнений сложно найти все решения. Мы можем найти некоторые частные решения. Например, x = -1, y = 1:

(-1)^3 + 21 * 1^2 + 5 = 0 -1 + 21 + 5 = 0 25 ≠ 0 (неверно)

Это решение также неверно. Это означает, что у этого уравнения нет целочисленных решений.

3. Уравнение: x^2 - 7y = 10

Здесь у нас две переменные, и мы можем попробовать найти все целочисленные решения, перебирая возможные значения.

Примем x за некоторое целое число k: x = k

Подставим это в уравнение и выразим y: k^2 - 7y = 10 7y = k^2 - 10 y = (k^2 - 10) / 7

Чтобы получить целочисленные решения, (k^2 - 10) должно делиться на 7 без остатка.

Примеры целочисленных решений:

• При k = 4: y = (4^2 - 10) / 7 = 6 / 7 (не целое число)
• При k = 5: y = (5^2 - 10) / 7 = 15 / 7 (не целое число)
• При k = 6: y = (6^2 - 10) / 7 = 26 / 7 (не целое число)
• При k = 7: y = (7^2 - 10) / 7 = 39 / 7 (не целое число)
• При k = 8: y = (8^2 - 10) / 7 = 54 / 7 (не целое число)
• При k = 9: y = (9^2 - 10) / 7 = 71 / 7 (не целое число)
• При k = 10: y = (10^2 - 10) / 7 = 90 / 7 (не целое число)

И так далее. Видно, что все выражения для y не дают целых значений. Таким образом, у этого уравнения также нет целочисленных решений.