Question

Докажите что при любом значении р уравнение х2-рх+2р2+1=0 не имеет корней

Answer 1

x² - px + 2p² + 1 = 0

D = (-p)² - 4 * (2p² + 1) = p² - 8p² - 4 = - 7p² - 4

Выражение - 7p² - 4 < 0 при любых действительных значениях x .

Если D < 0 , то квадратное уравнение не имеет корней .

Answer 2

Для доказательства того, что уравнение $x^2 - px + 2p^2 + 1 = 0$ не имеет корней, вам нужно показать, что дискриминант этого уравнения отрицателен. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней.

Дискриминант $D$ для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a = 1$, $b = -p$, и $c = 2p^2 + 1$. Теперь вычислим дискриминант для уравнения $x^2 - px + 2p^2 + 1 = 0$:

$D = (-p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2p^2 + 1) = p^2 - 8p^2 - 4 = -7p^2 - 4.$

Таким образом, дискриминант равен $-7p^2 - 4$. Чтобы уравнение $x^2 - px + 2p^2 + 1 = 0$ не имело действительных корней, дискриминант должен быть отрицательным: $D < 0$.

Докажем это:

$-7p^2 - 4 < 0$

Добавим $7p^2$ к обеим сторонам:

$7p^2 - 4 > 0$

Теперь разделим обе стороны на 4:

$p^2 > \frac{4}{7}$

Так как $\frac{4}{7}$ положительное число, а $p^2$ тоже неотрицательное (ведь квадрат любого числа неотрицателен), то это неравенство верно для всех значений $p$.

Таким образом, мы показали, что для любого значения $p$ дискриминант уравнения $x^2 - px + 2p^2 + 1 = 0$ будет больше нуля, что означает, что уравнение не имеет действительных корней.