Question

Доведіть нерівність: х²+у²-2х+6у+11≥0

Answer 1

$x^2-2x+1+y^2+6y+9+1=(x-1)^2+(y+3)^2+1>0$

Неравенство верно лишь для всех действительных х и у, левая часть неравенства всегда положительно.

Answer 2

Щоб довести дану нерівність для дійсних значень x і y, ми можемо скористатися методом завершення квадрату для кожного змінного окремо. Тобто, ми спробуємо перетворити ліву сторону нерівності в суму квадратів.

1. Для змінної x: Для завершення квадрату виразу x^2 - 2x, ми додаємо і віднімаємо квадрат з половини коефіцієнта при x: x^2 - 2x + (2/2)^2 - (2/2)^2 = (x - 1)^2 - 1

2. Для змінної y: Для завершення квадрату виразу y^2 + 6y, ми додаємо і віднімаємо квадрат з половини коефіцієнта при y: y^2 + 6y + (6/2)^2 - (6/2)^2 = (y + 3)^2 - 9

Тепер ми можемо переписати вихідний вираз у вигляді суми квадратів: x^2 + y^2 - 2x + 6y + 11 = (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 + 11 = (x - 1)^2 + (y + 3)^2 + 1

Оскільки квадрати будь-яких чисел є невід'ємними (або нульовими), то вираз (x - 1)^2 + (y + 3)^2 буде завжди невід'ємним або рівним нулю. Таким чином, нерівність х^2 + у^2 - 2х + 6у + 11 ≥ 0 буде виконана для будь-яких дійсних значень x і y.