Question

Постройте и исследуйте функцию f(x)=|3x^2-6|x||​

Answer 1

Ответ:

Объяснение: на фото

Answer 2

Для начала построим график функции f(x)=|3x^2-6|x||​, чтобы визуализировать её поведение. Затем проанализируем характеристики функции, такие как области определения, точки разрыва, интервалы возрастания и убывания, экстремумы и т.д.

Чтобы нарисовать график функции, давайте разделим рассмотрение на несколько интервалов в зависимости от значения выражения 3x^2-6|x|:

1. Если 3x^2-6|x| >= 0, тогда |3x^2-6|x|| = 3x^2-6|x|.

2. Если 3x^2-6|x| < 0, тогда |3x^2-6|x|| = -(3x^2-6|x|) = -3x^2+6|x|.

Давайте рассмотрим эти два случая:

Когда 3x^2-6|x| >= 0: 1.1. Если x >= 0, тогда 3x^2-6|x| = 3x^2-6x = 3x(x-2). 1.2. Если x < 0, тогда 3x^2-6|x| = 3x^2+6x = 3x(x+2).

Когда 3x^2-6|x| < 0: 2.1. Если x >= 0, тогда 3x^2-6|x| = -(3x^2-6x) = -3x^2+6x = 3x(2-x). 2.2. Если x < 0, тогда 3x^2-6|x| = -(3x^2+6x) = -3x^2-6x = -3x(2+x).

Теперь нарисуем график, чтобы проанализировать функцию:

Анализ функции:

1. Область определения: Функция f(x) определена для всех вещественных чисел x.

2. Точки разрыва: Функция имеет точки разрыва в x = 0 и x = 2. На этих точках меняется знак выражения 3x^2-6|x|.

3. Интервалы возрастания и убывания:

   • Для интервала x < 0 функция убывает (отрицательный коэффициент при x).
   • Для интервала 0 < x < 2 функция возрастает (положительный коэффициент при x).
   • Для интервала x > 2 функция убывает (отрицательный коэффициент при x).

4. Экстремумы: Функция имеет локальный минимум в точке (2, 0). В этой точке изменяется направление возрастания на убывание.

5. Нули функции: Функция имеет нули при x = 0 и x = 2.

6. Поведение на бесконечности: При x → +∞ функция стремится к плюс бесконечности (f(x) → +∞). При x → -∞ функция стремится к минус бесконечности (f(x) → -∞).

7. Симметрия: Функция симметрична относительно вертикальной оси x=1. То есть f(1-x) = f(1+x).

Это основные характеристики функции f(x)=|3x^2-6|x||​, которые можно увидеть на её графике и анализировать для разных значений x.