Question

Знайти інтервали зростання та спадання функції f(x)=e^6x-x^2+5

Answer 1

f(x)=e^6x-x^2+5

Функція буде зростати на відрізках, де її похідна має додатні значення.

Знаходимо похідну:

f'(x) = 6e^6x-2x ; ця функція неперервна.

Знайдемо точки екстремуму через похідну другого порядку:

f''(x) = 36e^6x-2

36e^6x-2 = 0

18e^6x = 1

6x = ln(1/18)

x = ln(1/18)/6

Дізнаємось знак похідної на точці екстремума:

6e^(6(ln(1/18)/6)) - 2(ln(1/18)/6) = 6e^(ln(1/18)) - (ln(1/18)/3) = 6*1/18 - (ln(1/18)/3) = 1/3 - (ln(1/18)/3) ; ln(1/18) має відємне значення, тому загальний вираз буде додатнім.

Розглянемо похідну на 2 довільних точках по обидві сторони від точки екстремума:

х=0

f'(x) = 6e^(6*0)-2*0 = 6е - значення додатнє

х=-10

f'(x) = 6e^(6*(-10))-2*(-10) = 6e^(-60)+20 = 6/e^60+20 - значення також додатнє

Отже, функція зростає на всій області визначення, крім точки ln(1/18)/6

Answer 2

Щоб знайти інтервали зростання та спадання функції f(x) = e^(6x) - x^2 + 5, спочатку потрібно знайти похідну цієї функції та встановити її знаки. Змінну "x" розглядатимемо як незалежну змінну.

1. Знайдемо похідну функції f(x): f'(x) = d/dx (e^(6x) - x^2 + 5)

   Для знаходження похідної від функції, яка складається з декількох доданків, ми можемо взяти похідну кожного доданку окремо: f'(x) = d/dx (e^(6x)) - d/dx (x^2) + d/dx (5)

   Похідна першого доданку e^(6x) за правилом ланцюжка дає: f'(x) = 6e^(6x) - 2x + 0

   Спрощуємо: f'(x) = 6e^(6x) - 2x

2. Тепер знайдемо точки, в яких похідна f'(x) дорівнює нулю або не існує: f'(x) = 0

   6e^(6x) - 2x = 0

   Додамо 2x до обох боків рівняння: 6e^(6x) = 2x

   Розділимо обидві частини на 2x: 3e^(6x)/x = 1

   Знайти аналітичний розв'язок для цього рівняння неможливо. Можна використовувати числові методи, такі як метод Ньютона або метод дихотомії, щоб знайти наближене значення x, де f'(x) = 0. Але для визначення інтервалів зростання та спадання нам достатньо знати знаки похідної f'(x) в окремих діапазонах.

3. Виведемо знаки похідної f'(x) в окремих діапазонах:

   Для x < 0: При підстановці від'ємного значення x в f'(x), ми отримаємо: f'(x) = 6e^(6x) - 2x Оскільки e^(6x) завжди додатне, а -2x від'ємне для від'ємних значень x, f'(x) буде додатнім для x < 0.

   Для x > 0: При підстановці додатного значення x в f'(x), ми отримаємо: f'(x) = 6e^(6x) - 2x Оскільки e^(6x) завжди додатне, а -2x від'ємне для додатних значень x, f'(x) буде додатнім для x > 0.

4. Загальний висновок: Згідно отриманих результатів, функція f(x) = e^(6x) - x^2 + 5 зростає на всьому діапазоні значень x, аніде не спадає.