Question

. Решите уравнение x2+y2+z2 = 2015 в целых числах,​

Answer 1

Условие:

Решить уравнение x² + y² + z² = 2015 в целых числах.

Решение:

Будем опираться на следующее утверждение:

"Квадрат целого числа при делении на 8 может давать в остатке, либо 0, либо 1, либо 4" - доказательство этого утверждения приведем ниже, а пока будем использовать его.

Заметим, что число 2015 - нечетное и при делении на 8 дает в остатке 7 (2015 = 8 · 251 + 7). Выясним какой остаток при делении на 8 дает левая часть уравнения.

Очевидно, что одновременно все 3 квадрата не могут быть четными (в противном случае и их сумма была бы четной), а также не может быть четным только 1 какой-нибудь квадрат (тогда сумма также была бы четной), поэтому возможны следующие комбинации остатков слагаемых (без учета порядка, так как от перестановки слагаемых сумма не меняется):

(0; 0; 1) - остаток суммы равен 1

(0; 1; 4) - остаток суммы равен 5

(1; 1; 1) - остаток суммы равен 3

(1; 4; 4) - остаток суммы равен 1, так как 9 = 8 · 1 + 1

Будучи уверенным, что мы рассмотрели все возможные комбинации остатков, убеждаемся, что среди них нет 7, а значит числа стоящие слева и справа не могут совпадать. Уравнение решений не имеет.

Доказательство утверждения:

Число, возводимое в квадрат может быть нечетным (2k - 1), так и четным (2k).

1) Нечетное (2k - 1)² = 4k² - 4k + 1 = 4k·(k - 1) + 1, учитывая, что k·(k-1) делится на 2 (из двух, идущих подряд чисел - одно обязательно четное), получаем, что 4k·(k - 1) делится на 8, а 4k·(k - 1) + 1 при делении на 8 дает остаток 1. Таким образом квадрат нечетного числа при делении на 8 всегда дает остаток 1

2) Четное. (2k)² = 4k² - число делится на 4, а на 8 оно делится, если k - четное (т.е. k = 2n) в этом случае остаток равен 0, если же k - нечетное (k = 2n - 1), то получаем:

(2k)² = (2·(2n - 1))² = 4·(4n² - 4n + 1) = 16n² - 16n + 4 = 8·(2n² - 2n) + 4, то есть в этом случае при делении на 8 получаем остаток 4

Мы рассмотрели все случаи для целого числа, а значит утверждение доказано.

Answer 2

Уравнение x^2 + y^2 + z^2 = 2015 является уравнением Диофантова типа, так как вы ищете целочисленные решения.

Это уравнение имеет множество решений. Одним из подходов к его решению является перебор возможных значений переменных x, y и z.

Вот простой код на Python, который перебирает значения переменных от -45 до 45 и находит решения:

pythonCopy code
import math

for x in range(-45, 46):
    for y in range(-45, 46):
        for z in range(-45, 46):
            if x**2 + y**2 + z**2 == 2015:
                print(f"x = {x}, y = {y}, z = {z}")

Запустив этот код, вы получите все целочисленные решения уравнения x^2 + y^2 + z^2 = 2015.

Обратите внимание, что в этом коде мы ограничиваем значения переменных от -45 до 45 для ускорения процесса, так как решение слишком большого количества комбинаций может занять много времени.