Question

Вычислить интегралы1) S 0,-1 (3x^2+2x^3)dx2) S 1,-2 (2x^3-6x^2+8x)dx​

Answer 1

1) 3∫x²dx+2∫x³dx= 3(x³/3)|0 -1 +2*(x⁴/4)|0 -1= x³|0 -1 + (x₄/2)|0 -1= (0+1)+(0-1/2)= 0,5

2) 2∫x³dx-6∫x²dx +8∫xdx =2(x⁴/4)|1 -2 -6(x³/3)|1 -2+8(x²/2)|1 -2= (x⁴/2)|1 -2 -(2x³)|1 -2+(4x²)|1 -2= (1/2 - 8)-(2+16)+(4-16)= -7,5-18-12= -37,5

Answer 2

Для вычисления данных интегралов, вам потребуется использовать формулу определенного интеграла:

∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a),

где F(x) - первообразная функции f(x). Первообразная функция представляет собой функцию, производная которой равна исходной функции f(x).

Давайте вычислим интегралы по порядку:

1. S 0,-1 (3x^2 + 2x^3)dx:

Для начала найдем первообразную функцию F(x) для функции f(x) = 3x^2 + 2x^3. Чтобы найти F(x), возьмем интеграл от f(x) по x:

∫(3x^2 + 2x^3)dx = x^3 + (2/4)x^4 + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь вычислим значение интеграла:

S 0,-1 (3x^2 + 2x^3)dx = F(-1) - F(0) = (-1)^3 + (2/4)(-1)^4 - (0)^3 - (2/4)(0)^4 = -1 + 1/4 = -3/4.

2. S 1,-2 (2x^3 - 6x^2 + 8x)dx:

Аналогично, найдем первообразную функцию F(x) для функции f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 8x:

∫(2x^3 - 6x^2 + 8x)dx = (2/4)x^4 - (6/3)x^3 + 4x^2 + C = (1/2)x^4 - 2x^3 + 4x^2 + C.

Теперь найдем значение интеграла:

S 1,-2 (2x^3 - 6x^2 + 8x)dx = F(-2) - F(1) = (1/2)(-2)^4 - 2(-2)^3 + 4(-2)^2 - [(1/2)(1)^4 - 2(1)^3 + 4(1)^2] = (1/2)(16) + 2(8) + 4(4) - [(1/2)(1) - 2(1) + 4] = 8 + 16 + 16 - (1/2 - 2 + 4) = 40 - (1/2 - 2 + 4) = 40 - (1/2 + 2 + 4) = 40 - (9/2) = 40 - 18/2 = 40 - 9 = 31.

Итак, интеграл S 1,-2 (2x^3 - 6x^2 + 8x)dx равен 31.