Question

исследуйте функцию на монотонность и экстремумы. найдите промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба y=1/3x^3-3x^2+8x-10​

Answer 1

Найдем производную данной функции

$y'=x^2-6x+8$

и приравняем ее к нулю

$x^2-6x+8=0\\ x_1=2\\ x_2=4$

_____+____(2)____-____(4)_____+____

На промежутке x ∈ (-∞;2) и x ∈ (4;+∞) функция возрастает, а убывает на промежутке x ∈ (2;4). В точке x = 2 функция имеет относительный максимум, а в точке x = 4 - относительный минимум.

Найдем вторую производную данной функции

$y'=2x-6\\ y'=0;~~~ 2x-6=0\\ x=3$

_____-_____(3)____+_____

На промежутке x ∈ (-∞ ;3) функция выпукла вверх, а на промежутке x ∈ (3; +∞) - выпукла вниз

Answer 2

Для исследования функции y = (1/3)x^3 - 3x^2 + 8x - 10 на монотонность и экстремумы, а также для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба, нам понадобятся производные этой функции.

Шаг 1: Найдем производную функции y по x: y' = d/dx[(1/3)x^3 - 3x^2 + 8x - 10] y' = x^2 - 6x + 8

Шаг 2: Найдем вторую производную функции y по x: y'' = d/dx[x^2 - 6x + 8] y'' = 2x - 6

Шаг 3: Найдем точки, в которых первая производная равна нулю, чтобы определить экстремумы функции: y' = 0 x^2 - 6x + 8 = 0

Для нахождения корней этого квадратного уравнения, воспользуемся квадратным уравнением:

x = (6 ± √(6^2 - 418)) / 2 x = (6 ± √(36 - 32)) / 2 x = (6 ± √4) / 2 x = (6 ± 2) / 2

Таким образом, получаем два значения x:

x1 = (6 + 2) / 2 = 4 x2 = (6 - 2) / 2 = 2

Шаг 4: Определим значения y при найденных значениях x, чтобы найти соответствующие экстремумы: y(x1) = (1/3)(4^3) - 3(4^2) + 84 - 10 = (1/3)64 - 316 + 32 - 10 = 21.33 y(x2) = (1/3)(2^3) - 3*(2^2) + 8*2 - 10 = (1/3)8 - 34 + 16 - 10 = -2.67

Таким образом, у нас есть две точки экстремума: (4, 21.33) и (2, -2.67).

Шаг 5: Определим интервалы монотонности и выпуклости функции:

а) Интервалы монотонности: Мы уже нашли точки экстремума, а между ними функция возрастает, так как первая производная положительна между x1 и x2. Таким образом, интервалы монотонности: (-∞, 2) - функция возрастает (2, 4) - функция убывает (4, +∞) - функция возрастает

б) Промежутки выпуклости и точки перегиба: Точка перегиба - это точка, где вторая производная равна нулю или не существует. Найдем x для y'':

y'' = 0 2x - 6 = 0 2x = 6 x = 3

Теперь определим знак второй производной до и после точки перегиба:

Для x < 3: Подставим x = 2 (например) в y'': y'' = 2*2 - 6 = -2 (отрицательное число) Это означает, что до точки перегиба функция выпукла вниз.

Для x > 3: Подставим x = 4 (например) в y'': y'' = 2*4 - 6 = 2 (положительное число) Это означает, что после точки перегиба функция выпукла вверх.

Таким образом, у нас есть точка перегиба (3, f(3)), где f(3) - значение функции при x=3, и два промежутка выпуклости: (-∞, 3) - функция выпукла вниз (3, +∞) - функция выпукла вверх

Визуализируя полученные результаты, мы можем построить график функции и обозначить точки экстремума и перегиба, а также интервалы монотонности и выпуклости.