Question

Вычислить приближенное значения корня используя дифференциал.

Answer 1

x = 1.06. Выберем начальную точку $x_0=1$, тогда приращение $зx=x-x_0=0.06$. Рассмотрим функцию $f(x)=\sqrt[3]{x}$ и найдем ее производную

$f'(x)=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

Значение производной функции в точке x0:

$f'(1)=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{1^2}}=\dfrac{1}{3}$

Значение функции в точке x0: $f(1)=\sqrt[3]{1}=1$

окончательно получим

$f(x)=\sqrt[3]{1.06}\approx f(x_0)+f'(x_0)зx=1+\dfrac{1}{3}\cdot 0.06=1.02$

Answer 2

Для вычисления приближенного значения корня с использованием дифференциала можно применить метод Ньютона (метод касательных).

Пусть у нас есть уравнение f(x) = 0, и мы хотим найти его корень. Метод Ньютона основан на итеративном приближении корня с использованием касательной к графику функции f(x) в некоторой начальной точке x₀.

Шаги метода Ньютона:

1. Выберите начальное приближение x₀ для корня уравнения.
2. Вычислите значение функции f(x₀) и ее производной f'(x₀).
3. Постройте уравнение касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)). Уравнение касательной имеет вид y = f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀).
4. Найдите корень уравнения касательной, то есть решите уравнение f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀) = 0. Обозначим это значение как x₁.
5. Повторяйте шаги 2-4, заменяя x₀ на x₁, пока не достигнете желаемой точности или заданного числа итераций.

Применение дифференциала позволяет на каждом шаге приближаться к корню уравнения с высокой точностью. Однако необходимо выбирать начальное приближение x₀ близким к искомому корню, чтобы метод сходился к правильному значению.