Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=5-x^2 y=x^2-2x+1

Answer 1

Ответ: во вложении Объяснение:

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо сначала найти точки их пересечения. Затем проинтегрировать разность этих двух кривых между найденными точками пересечения.

1. Найдем точки пересечения кривых y = 5 - x^2 и y = x^2 - 2x + 1.

Приравняем уравнения и решим уравнение для x:

5 - x^2 = x^2 - 2x + 1

2x^2 - 2x - 4 = 0

Вычислим дискриминант:

D = b^2 - 4ac D = (-2)^2 - 4 * 2 * (-4) D = 4 + 32 D = 36

Так как D > 0, у нас есть два действительных корня:

x1 = (-b + √D) / (2a) x1 = (2 + √36) / 4 x1 = (2 + 6) / 4 x1 = 8 / 4 x1 = 2

x2 = (-b - √D) / (2a) x2 = (2 - √36) / 4 x2 = (2 - 6) / 4 x2 = -4 / 4 x2 = -1

Таким образом, точки пересечения находятся при x = 2 и x = -1.

2. Теперь, чтобы найти площадь фигуры между кривыми, проинтегрируем разность кривых от x = -1 до x = 2:

Площадь = ∫(верхняя функция - нижняя функция) dx по отрезку [-1, 2]

Площадь = ∫((5 - x^2) - (x^2 - 2x + 1)) dx по отрезку [-1, 2]

Площадь = ∫(5 - x^2 - x^2 + 2x - 1) dx по отрезку [-1, 2]

Площадь = ∫(4 - 2x^2 + 2x) dx по отрезку [-1, 2]

Теперь проинтегрируем:

Площадь = [4x - (2/3)x^3 + x^2] от -1 до 2

Площадь = [4(2) - (2/3)(2)^3 + (2)^2] - [4(-1) - (2/3)(-1)^3 + (-1)^2]

Площадь = [8 - (2/3) * 8 + 4] - [-4 + (2/3) + 1]

Площадь = [8 - 16/3 + 4] - [-4 + 2/3 + 1]

Площадь = [12 - 16/3] - [-11/3]

Площадь = 12 - 16/3 + 11/3

Площадь = 12 - 5/3

Площадь = 31/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 5 - x^2 и y = x^2 - 2x + 1, равна 31/3 или около 10.33 квадратных единиц.