Question

ПОСОГИТЕ ПОЖААЙЛУСТО В равнобокой трапеции один из углов равен 120°, диагональ трапеции образует с основанием угол 30°. Найдите большее основание трапеции, если меньшее основание 6 см.​

Answer 1

АВСД - равнобокая трапеция, АВ=СД, ВС=6 см, ∠АВС=120° , ∠САД=30°. Найти АС.

Так как ∠АВС=120°, то ∠ВАД=180°-120°=60° ,

∠САД=30°  ⇒   ∠ВАС=∠ВАД-∠САД=60°-30°=30° .

Значит диагональ АС - биссектриса ∠А .

∠АСВ=∠САД=30° как внутренние накрест лежащие при АД || ВC и секущей АС  ⇒   ΔАВС - равнобедренный , т.к. ∠ВАС=∠АСВ .

Значит, АВ=АС=6 см .

Опустим перпендикуляры на основание АД из вершин В и С: ВН⊥АС , СМ⊥АД , получим прямоугольник ВСМН и два треугольника АВН и СМД .

Рассмотрим ΔАВН: ∠ВНА=90°, ∠ВАН=∠ВАД=60° , АВ=6 см  ⇒  

∠АВН=90°-80°=30°

Против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы  ⇒  АН=6:2=3 см.

Так как ΔАВН=ΔСМД (по гипотенузе АВ=СД и острому углу ∠ВАД=∠АДС), то МД=АН=3 см.

НМ=ВС=6 см как противоположные стороны прямоугольника ВСМН.

АД=АН+НМ+МД=3+6+3=12 см.

Answer 2

Давайте обозначим большее основание трапеции как "b" (в сантиметрах). Также, пусть высота трапеции будет обозначена как "h" (в сантиметрах).

В равнобокой трапеции углы при большем основании и меньшем основании равны. Таким образом, в нашем случае угол при меньшем основании также будет равен 120°.

Мы знаем, что диагональ трапеции образует с основанием угол 30°. Это означает, что угол между диагональю и высотой трапеции (перпендикулярной основаниям) составляет 60°.

Теперь мы можем рассмотреть правильный треугольник, образованный диагональю, половиной большего основания и высотой трапеции. Угол при большем основании этого треугольника составляет 30°, а угол при высоте равен 60°.

Мы знаем, что угол при меньшем основании трапеции равен 120°. Если мы выразим угол при меньшем основании через углы правильного треугольника, получим уравнение:

120° = угол при большем основании + угол при меньшем основании = 30° + 60°

Теперь мы можем найти угол при большем основании:

угол при большем основании = 120° - 30° - 60° = 30°

Таким образом, у нас есть правильный треугольник с углом при большем основании, равным 30°. Половина большего основания этого треугольника равна половине меньшего основания трапеции, то есть 6/2 = 3 см.

Теперь мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти высоту трапеции. В прямоугольном треугольнике с углом 30° половина большего основания равна прилежащему катету, а высота трапеции — противолежащему катету.

Тангенс угла 30° равен противолежащему катету (h) деленному на прилежащий катет (3):

tan(30°) = h/3

У тангенса угла 30° значение составляет 1/√3. Решим это уравнение:

1/√3 = h/3

Умножим оба выражения на 3:

1/√3 * 3 = h

h = 3/√3

Рационализуем выражение, умножив его на √3/√3:

h = (3/√3) * (√3/√3) h = 3√3/3 h = √3 см

Теперь, зная значение высоты трапеции (√3 см) и меньшего основания (6 см), мы можем найти площадь трапеции:

Площадь = (сумма оснований * высота) / 2 Площадь = (6 + b) * √3 / 2

Нам нужно найти большее основание трапеции, когда площадь максимальна. Чтобы найти максимальное значение площади, мы можем продифференцировать её по "b" и приравнять производную к нулю:

d(Площадь)/db = √3 / 2 = 0

Уравнение d(Площадь)/db = √3 / 2 равно 0, когда √3 = 0, что невозможно.

Это означает, что производная не равна нулю для любого значения "b". Следовательно, площадь трапеции будет максимальной при наибольшем возможном значении "b".

Таким образом, чтобы найти наибольшее основание трапеции, мы должны выбрать "b" как можно больше. В этом случае, "b" не ограничено и может быть бесконечно большим.

Таким образом, большее основание трапеции не имеет ограничений и может быть сколь угодно большим.