Question

Даны векторы a и b такие что a=2√2 ,b=6 угол ab=135°.Найдите a)a•b b) (a-5b)b. в)|a-5b| г)косинус угла между векторами a-5b и b

Answer 1

$|\vec{a}|=2\sqrt2\; \; ,\; \; |\vec{b}|=6\; \; ,\; \; \varphi =(\vec{a},\vec{b})=135^\circ \\\\1)\; \; \vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos\varphi =2\sqrt2\cdot 6\cdot cos135^\circ =12\sqrt2\cdot cos(90^\circ +45^\circ )=\\\\=-12\sqrt2\cdot sin 45^\circ =-12\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=-12\\\\\\2)\; \; (\vec{a}-5\vec{b})\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{b}-5\cdot \vec{b}^2=-12-5\cdot |\vec{b}|^2=-12-5\cdot 6^2=-192$

$3)\; \; |\vec{a}-5\vec{b}|^2=(\vec{a}-5\vec{b})^2=\vec{a}^2-10\vec{a}\cdot \vec{b}+25\vec{b}^2=\\\\=|\vec{a}|^2-10\cdot (-12)+25|\vec{b}|^2=(2\sqrt2)^2+120+25\cdot 6^2=1028\\\\|\vec{a}-5\vec{b}|=\sqrt{1028}=2\sqrt{257}\\\\\\4)\; \; cos\alpha =\frac{(\vec{a}-5\vec{b})\, \cdot \, \vec{b}}{|\vec{a}-5\vec{b}|\, \cdot \, |\vec{b}|}=\frac{-192}{2\sqrt{257}\, \cdot \, 6}=-\frac{16}{\sqrt{257}}\\\\\alpha =\pi -arccos\frac{16}{\sqrt{257}}$

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся формулами для вычисления скалярного произведения векторов, модуля вектора и косинуса угла между векторами.

a) Для вычисления скалярного произведения a • b умножим модуль вектора a на модуль вектора b, а затем умножим полученное значение на косинус угла между векторами a и b.

a • b = |a| * |b| * cos(угол ab)

У нас даны значения модулей векторов a и b, поэтому мы можем вычислить скалярное произведение:

|a| = 2√2 |b| = 6 угол ab = 135°

a • b = (2√2) * 6 * cos(135°)

Для вычисления cos(135°), нам понадобится использовать значение угла в радианах. Переведем угол 135° в радианы:

угол ab (в радианах) = (135° * π) / 180°

Теперь мы можем подставить значения и вычислить скалярное произведение:

a • b = (2√2) * 6 * cos((135° * π) / 180°)

b) Для вычисления выражения (a - 5b) • b, мы должны вычислить разность векторов a и 5b, а затем вычислить скалярное произведение полученного вектора и вектора b.

(a - 5b) • b = |a - 5b| * |b| * cos(угол (a - 5b, b))

c) Для вычисления модуля вектора |a - 5b|, нам нужно вычислить разность векторов a и 5b, а затем найти модуль полученного вектора.

|a - 5b| = |(2√2) - 5(6)|

г) Для вычисления косинуса угла между векторами a - 5b и b, мы должны найти скалярное произведение векторов a - 5b и b, а затем разделить его на произведение модулей этих векторов.

cos(угол (a - 5b, b)) = ((a - 5b) • b) / (|a - 5b| * |b|)

Теперь давайте вычислим значения.

a) a • b = (2√2) * 6 * cos((135° * π) / 180°)

b) (a - 5b) • b = |a - 5b| * |b| * cos(угол (a - 5b, b))

c) |a - 5b| = |(2√2) - 5(6)|

г) cos(угол (a - 5b, b)) = ((a - 5b) • b) / (|a - 5b| * |b|)