Question

Довести методом математичної індукції формулу для суми арифметичної прогресії.

Answer 1

Ответ: во вложении Объяснение:

БАЗА 1

Answer 2

Звичайно! Для доведення формули для суми арифметичної прогресії (AP) методом математичної індукції, спочатку потрібно визначити саму формулу.

Формула суми арифметичної прогресії: $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ де:

• $S_n$ - сума перших $n$ членів прогресії;
• $a_1$ - перший член прогресії;
• $a_n$ - $n$-й член прогресії;
• $n$ - кількість членів прогресії.

Тепер розглянемо доведення цієї формули методом математичної індукції.

Крок 1: Базовий крок Перевіримо формулу для $n = 1$ (значення, для яких доведення тривіальне). У випадку $n = 1$, ми маємо: $S_1 = \frac{1}{2}(a_1 + a_1) = a_1$ Це справедливо, оскільки сума першого члена прогресії $a_1$ дорівнює самому члену $a_1$.

Крок 2: Передположення про індукцію Припустимо, що формула справедлива для $n = k$: $S_k = \frac{k}{2}(a_1 + a_k)$

Крок 3: Крок індукції Покажемо, що формула також справедлива для $n = k + 1$: $S_{k+1} = \frac{k+1}{2}(a_1 + a_{k+1})$

Вираз для $S_{k+1}$ можна записати як суму перших $k$ членів (згідно передположення про індукцію) та $(k+1)$-го члена прогресії $a_{k+1}$:

$S_{k+1} = S_k + a_{k+1} = \frac{k}{2}(a_1 + a_k) + a_{k+1}$

Тепер скористаємося формулою $S_k = \frac{k}{2}(a_1 + a_k)$ з передположенням про індукцію:

$S_{k+1} = \frac{k}{2}(a_1 + a_k) + a_{k+1}$ $S_{k+1} = \frac{k}{2}a_1 + \frac{k}{2}a_k + a_{k+1}$

Об'єднуючи $\frac{k}{2}a_1$ з $a_{k+1}$ (спільний множник $\frac{k}{2}$), а також $\frac{k}{2}a_k$ з $a_1$ (спільний множник $\frac{k}{2}$), отримуємо:

$S_{k+1} = \frac{k}{2}a_1 + \frac{k}{2}a_k + a_{k+1} = \frac{k+k}{2}a_1 + a_{k+1} = \frac{k+1}{2}a_1 + a_{k+1}$