Question

СРОЧНО. 50 БАЛЛОВ. Решите дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. (3x-1)dx+(2y-5) xdy=0

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение:

(3x - 1)dx + (2y - 5)xdy = 0

Чтобы решить его с помощью метода разделяющихся переменных, мы должны перегруппировать слагаемые, разделив переменные x и y:

(3x - 1)dx = -(2y - 5)xdy

Теперь мы можем разделить переменные и переместить все слагаемые, связанные с x, на одну сторону уравнения, а все слагаемые, связанные с y, на другую сторону:

(3x - 1)dx + (2y - 5)xdy = 0

(3x - 1)dx = (5 - 2y)xdy

Теперь мы можем поделить обе части уравнения на выражение (3x - 1)(5 - 2y):

dx/(3x - 1) = xdy/(5 - 2y)

Интегрируем обе части уравнения:

∫ dx/(3x - 1) = ∫ xdy/(5 - 2y)

Для левой части уравнения мы можем использовать метод замены переменной. Положим u = 3x - 1, тогда du = 3dx и dx = du/3. Подставим это значение в левую часть уравнения:

∫ (du/3)/(u) = ∫ xdy/(5 - 2y)

(1/3)∫ du/u = ∫ xdy/(5 - 2y)

(1/3)ln|u| = ∫ xdy/(5 - 2y)

Теперь интегрируем правую часть уравнения. Для этого воспользуемся методом частичных дробей:

∫ xdy/(5 - 2y) = A/(5 - 2y) + B

где A и B - некоторые константы. Найдем A и B, приведя правую часть к общему знаменателю:

x = A + B(5 - 2y)/(5 - 2y)

x = (A(5 - 2y) + B(5 - 2y))/(5 - 2y)

x = (5A - 2Ay + 5B - 2By)/(5 - 2y)

Из этого равенства следует:

5A + 5B = 0 (коэффициент при y должен быть равен 0)

-2A - 2B = 1 (коэффициент при y^0 должен быть равен 1)

Из первого уравнения получаем A = -B. Подставим это во второе уравнение:

-2(-B) - 2B = 1

2B + 2B = 1

4B = 1

B = 1/4

Тогда A = -B = -1/4.

Подставим значения A и B обратно в выражение для x:

x = (-1/4)(5 - 2y) + (1/4)

x = (-5/4 + (1/2)y + 1/4)

x = (1/2)y - 1

Теперь мы можем продолжить интегрирование:

(1/3)ln|u| = ∫ (1/2)y - 1 dy

(1/3)ln|u| = (1/2)∫ y dy - ∫ dy

(1/3)ln|u| = (1/2)(y^2/2) - y + C

(1/3)ln|3x - 1| = (1/4)y^2 - y + C

Уравнение успешно интегрировано. Ответом является:

(1/3)ln|3x - 1| = (1/4)y^2 - y + C

где C - произвольная постоянная.