Question

ДОКАЖИТЕ ЧТО ДЛЯ ЛЮБОГО НАТУРАЛЬНОГО a ЧИСЛО a^3-1 НЕ ЯВЛЯЕТСЯ СТЕПЕНЬЮ ДВОЙКИ!!!! ОЧЕНЬ СРОЧНО ДАЮ 50 БАЛЛОВ

Answer 1

a^3 - 1 = (a - 1)*(a^2 + a + 1)

Допустим, это выражение является некоторой степенью двойки.

Если это выражение степень двойки, то его можно разложить на множители лишь таким образом, что каждый их сомножителей также будет являться степенью числа 2 (то есть первая скобка два в некоей степени, и вторая скобка 2 в степени).

Может быть  

1) a - четное

Тогда  a - 1 является нечетным  (a^2 + a + 1 тоже нечетное) и его нельзя представить в виде степени числа 2

2) a - нечетное

Тогда  a^2 + a + 1 является нечетным и его нельзя представить в виде степени числа 2

Доказали что ни при каком значении а выражение  a^3 - 1 не является степенью двойки

Answer 2

Для доказательства, что для любого натурального числа a выражение a^3 - 1 не является степенью двойки, мы можем использовать метод доказательства от противного.

Предположим, что существует натуральное число a и натуральное число n, такие что a^3 - 1 = 2^n.

Мы можем заметить, что (a - 1)(a^2 + a + 1) = 2^n. Рассмотрим два случая:

1. Случай: a - 1 является четным числом. Если a - 1 является четным числом, то оно может быть записано в виде a - 1 = 2^k, где k - натуральное число. Заметим, что a = 2^k + 1. Подставим это значение в исходное уравнение: (2^k + 1)^3 - 1 = 2^n. Раскроем скобки: 2^(3k) + 3 * 2^(2k) + 3 * 2^k + 1 - 1 = 2^n. Упростим: 2^k(2^(2k) + 3 * 2^k + 1) = 2^n. Поскольку первый множитель 2^k четный, а второй множитель 2^(2k) + 3 * 2^k + 1 нечетный, это противоречит условию, что оба множителя должны быть степенями двойки. Таким образом, для четных значений a уравнение a^3 - 1 = 2^n не может выполняться.

2. Случай: a - 1 является нечетным числом. Если a - 1 является нечетным числом, то оно может быть записано в виде a - 1 = 2^k * m, где k - натуральное число, а m - нечетное число. Заметим, что a = 2^k * m + 1. Подставим это значение в исходное уравнение: (2^k * m + 1)^3 - 1 = 2^n. Раскроем скобки: 2^(3k) * m^3 + 3 * 2^(2k) * m^2 + 3 * 2^k * m + 1 - 1 = 2^n. Упростим: 2^k(2^(2k) * m^2 + 3 * 2^k * m + m^3) = 2^n. Поскольку первый множитель 2^k четный, а второй множитель 2^(2k) * m^2 + 3 * 2^k * m + m^3 нечетный, это противоречит условию, что оба множителя должны быть степенями двойки. Таким образом, для нечетных значений a уравнение a^3 - 1 = 2^n не может выполняться.

Так как мы рассмотрели все возможные случаи (четные и нечетные значения a), и в обоих случаях получили противоречие, мы можем заключить, что для любого натурального числа a, выражение a^3 - 1 не является степенью двойки.