Question

Докажите что при любом натуральном n, n^2+6n+8 не делится на n+3​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

(n^2+6n+9)-1=(n+3)^2 - 1=((n+3)+1)((n+3)-1)=(n+4)(n+2);

(n+4)(n+2)/(n+3);

Answer 2

Для доказательства, что выражение $n^2 + 6n + 8$ не делится на $n + 3$ при любом натуральном $n$, воспользуемся методом доказательства от противного.

Предположим, что существует некоторое натуральное число $n$, при котором $n^2 + 6n + 8$ делится на $n + 3$. Тогда можно записать: $n^2 + 6n + 8 = k(n + 3),$ где $k$ - некоторое целое число.

Перепишем это уравнение в виде: $n^2 + 6n + 8 = kn + 3k.$

Проведем дальнейшие преобразования: $n^2 + (6 - k)n + (8 - 3k) = 0.$

Это квадратное уравнение имеет два корня, и оно будет иметь целочисленные корни только в том случае, если дискриминант равен квадрату некоторого целого числа: $(6 - k)^2 - 4(8 - 3k) = m^2,$ где $m$ - некоторое целое число.

Раскроем скобки и упростим выражение: $36 - 12k + k^2 - 32 + 12k = m^2,$ $k^2 + 4 = m^2.$

Полученное уравнение эквивалентно разности двух квадратов: $(m - k)(m + k) = 4.$

Теперь рассмотрим все возможные случаи:

1. $m - k = 1$ и $m + k = 4$. Из этой системы уравнений получаем $m = 2$ и $k = 1$. Но в этом случае, когда $m = 2$ и $k = 1$, у нас имеется противоречие, так как исходное уравнение не имеет целочисленных решений.

2. $m - k = 2$ и $m + k = 2$. Из этой системы уравнений получаем $m = 2$ и $k = 0$. Но в этом случае, когда $m = 2$ и $k = 0$, у нас также возникает противоречие, так как исходное уравнение не имеет целочисленных решений.

3. $m - k = 4$ и $m + k = 1$. Из этой системы уравнений получаем $m = 2$ и $k = -1$. Но и в этом случае, когда $m = 2$ и $k = -1$, у нас возникает противоречие, так как исходное уравнение не имеет целочисленных решений.

Мы рассмотрели все возможные случаи и в каждом из них получили противоречие. Следовательно, исходное предположение неверно. Это значит, что при любом натуральном $n$, выражение $n^2 + 6n + 8$ не делится на $n + 3$.