Question

1) В геометрической прогрессии b2=1; b3=2 найдите S14\S7 2) В геометрической прогрессии b3=3; b4=1,5 найдите S9\S18

Answer 1

Задача 1.

$b_n$ - геометрическая прогрессия

$b_2=1, b_3=2\\q=b_3:b_2=2:1=2\\b_1=b_2:q=1:2=0,5\\ \\ S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1} \\ \\ \frac{S_{14}}{S_{7}}=\frac{\frac{0,5(2^{14}-1)}{2-1} }{\frac{0,5(2^{7}-1)}{2-1}}=\frac{2^{14}-1}{2^{7}-1}=\frac{(2^{7})^2-1}{2^7-1}=\frac{(2^7-1)(2^7+1)}{2^7-1}=2^7+1=128+1=129$

Ответ: 129

Задача 2.

$b_n$ - геометрическая прогрессия

$b_3=3, b_4=1,5\\q=b_4:b_3=1,5:3=0,5\\b_1=b_3:q^2=3:(0,5)^2=3:0,25=12\\ \\ S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\\\\\frac{S_{9}}{S_{18}}=\frac{\frac{12(0,5^{9}-1)}{0,5-1}}{\frac{12(0,5^{18}-1)}{0,5-1}}=\frac{0,5^{9}-1}{0,5^{18}-1}=\frac{0,5^{9}-1}{(0,5^9)^2-1^2}=\frac{0,5^9-1}{(0,5^9-1)(0,5^9+1)}=\frac{1}{0,5^9+1}=\\\\=\frac{1}{(\frac{1}{2})^9+1 }=\frac{1}{\frac{1}{512}+1}=\frac{512}{1+512}=\frac{512}{513}$

Ответ:    $\frac{512}{513}$

Answer 2

1. Для данной геометрической прогрессии с известными значениями b2 = 1 и b3 = 2, мы можем найти первый член и знаменатель прогрессии. Для этого мы используем формулы:

b2 = b1 * r, где b1 - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии. b3 = b2 * r = (b1 * r) * r = b1 * r^2

Подставляем известные значения: 1 = b1 * r 2 = b1 * r^2

Делим второе уравнение на первое: 2 / 1 = (b1 * r^2) / (b1 * r) 2 = r

Теперь мы знаем, что знаменатель прогрессии равен 2, а первый член прогрессии равен 1 / r = 1 / 2 = 0.5.

Формула для суммы n членов геометрической прогрессии S_n = b1 * (1 - r^n) / (1 - r)

Теперь мы можем вычислить S14 и S7: S14 = (0.5 * (1 - 2^14)) / (1 - 2) S7 = (0.5 * (1 - 2^7)) / (1 - 2)

Вычисляем значения:

S14 = (0.5 * (-16383)) / (-1) S7 = (0.5 * (-127)) / (-1)

S14 = 8191.5 S7 = 63.5

Теперь мы можем найти S14/S7:

S14/S7 = 8191.5 / 63.5 S14/S7 ≈ 128.87

Ответ: S14/S7 ≈ 128.87

2. Для данной геометрической прогрессии с известными значениями b3 = 3 и b4 = 1.5, мы можем найти первый член и знаменатель прогрессии. Для этого мы используем формулы:

b3 = b1 * r^2 b4 = b1 * r^3

Подставляем известные значения: 3 = b1 * r^2 1.5 = b1 * r^3

Делим второе уравнение на первое: 1.5 / 3 = (b1 * r^3) / (b1 * r^2) 0.5 = r

Теперь мы знаем, что знаменатель прогрессии равен 0.5, а первый член прогрессии равен 3 / r^2 = 3 / (0.5^2) = 3 / 0.25 = 12.

Формула для суммы n членов геометрической прогрессии S_n = b1 * (1 - r^n) / (1 - r)

Теперь мы можем вычислить S9 и S18: S9 = (12 * (1 - 0.5^9)) / (1 - 0.5) S18 = (12 * (1 - 0.5^18)) / (1 - 0.5)

Вычисляем значения:

S9 = (12 * (1 - 0.001953125)) / 0.5 S18 = (12 * (1 - 0.000030517578125)) / 0.5

S9 ≈ 23.998046875 S18 ≈ 23.99996948242

Теперь мы можем найти S9/S18:

S9/S18 ≈ 23.998046875 / 23.99996948242 S9/S18 ≈ 0.9999198914

Ответ: S9/S18 ≈ 0.9999198914