Question

Сколько существует различных упорядоченных наборов (x,y,z) натуральных чисел x,y,z таких что x+y+z=14? и сколько существует различных упорядоченных наборов (x,y,z) натуральных чисел x,y,z x+y+z=14 x>1,y>2,z>2 или z=2?

Answer 1

Сколько существует различных упорядоченных наборов (x,y,z) натуральных чисел x,y,z таких что x+y+z=14?

Ответ:

Таких упорядоченных наборов существует:

(14-1)! / ((3-1)! * (14-3)!) = 13! / (2! * 11!) = 12 * 13 / 2 = 6 * 13 = 78 наборов.

--------------------------------------------------------------------------------------------

Сколько существует различных упорядоченных наборов (x,y,z) натуральных чисел x,y,z x+y+z=14 x>1,y>2,z>2 или z=2?

Я так понял, что нужно рассмотреть четыре отдельных случая с такими условиями "x>1,y>2,z>2 или z=2". Если нет, и нужно рассмотреть все эти 4 условия вместе, тогда я неправильно понял второй вопрос и нижний ответ вам не подходит.

Ответ:

При x > 1 таких упорядоченных наборов существует:

78 - ((14-2)! / ((3-2)! * (14-3)!)) = 78 - (12! / (1! * 11!)) = 78 - 12 = 66 способов.

При y > 2 таких упорядоченных наборов существует:

78 - ((14-2)! / ((3-2)! * (14-3)!)) - ((14-3)! / ((3-2)! * (14-4)!)) = 78 - (12! / (1! * 11!)) - (11! / (1! * 10!)) = 78 - 12 - 11 = 55 способов.

При z > 2 (как и для y > 2) таких упорядоченных наборов существует:

78 - ((14-2)! / ((3-2)! * (14-3)!)) - ((14-3)! / ((3-2)! * (14-4)!)) = 78 - (12! / (1! * 11!)) - (11! / (1! * 10!)) = 78 - 12 - 11 = 55 способов.

При z = 2 таких упорядоченных наборов существует:

78 - ((14-3)! / ((3-2)! * (14-4)!)) = 78 - (11! / (1! * 10!)) = 78 - 11 = 67 способов.

Answer 2

Для первого вопроса мы можем использовать метод "разделения и размещения" (англ. "stars and bars"), чтобы решить задачу.

Имеется уравнение x + y + z = 14, где x, y и z - натуральные числа. Чтобы найти количество упорядоченных наборов (x, y, z), мы можем представить это уравнение в виде задачи о разделении 14 объектов (обозначающих сумму) между 3 ящиками (обозначающими переменные x, y и z). Мы должны разместить 2 "разделителя" между этими объектами, чтобы разделить их на 3 ящика.

Количество способов разместить разделители и объекты равно количеству возможных позиций для разделителей, а это равно количеству сочетаний с повторениями из 14 объектов по 2 разделителя. Формула для количества сочетаний с повторениями из n объектов по k разделителям выглядит следующим образом:

C(n+k-1, k) = C(14+2-1, 2) = C(15, 2) = 105.

Таким образом, существует 105 различных упорядоченных наборов (x, y, z) натуральных чисел, где x + y + z = 14.

Для второго вопроса у нас также есть уравнение x + y + z = 14, где x, y и z - натуральные числа. Но в данном случае мы имеем ограничение: x > 1, y > 2 и z > 2 или z = 2.

Для решения этой задачи мы можем рассмотреть два случая:

1. Когда z > 2: В этом случае нам нужно разместить 14 - 2 = 12 объектов между 3 ящиками (x, y и z). По аналогии с предыдущим решением, количество упорядоченных наборов будет равно C(12+2-1, 2) = C(13, 2) = 78.

2. Когда z = 2: В этом случае нам нужно разместить 14 - 2 = 12 объектов между 2 ящиками (x и y). Количество упорядоченных наборов будет равно C(12+1-1, 1) = C(12, 1) = 12.

Итак, суммируя результаты двух случаев, мы получаем общее количество упорядоченных наборов (x, y, z) натуральных чисел, где x + y + z = 14, x > 1, y > 2 и z > 2 или z = 2, равное 78 + 12 = 90.