Question

Решите уравнение: 1) √x²+x-1=0 2) √x=x-2

Answer 1

$1a)\; \; \sqrt{x^2+x-1}=0\; \; ,\; \; ODZ:\; x^2+x-1\geq 0\\\\(\sqrt{x^2+x-1})^2=0^2\\\\x^2+x-1=0\\\\D=1+4=5\; ,\\\\Otvet:\; \; x_1=\frac{-1-\sqrt5}{2}\; \; ,\; \; x_2=\frac{-1+\sqrt5}{2}\\\\\\1b)\; \; \sqrt{x^2}+x-1=0\; \; ,\; \; ODZ:\; x\in (-\infty ,+\infty )\\\\|x|+x-1=0\\\\a)\; x\geq 0:\; \; x+x-1=0\; ,\; \; 2x=1\; ,\; \; x=\frac{1}{2}\\\\b)\; \; x$

$2)\; \; \sqrt{x}=x-2\; \; \Leftrightarrow \; \; \; \left\{\begin{array}{cc}x-2\geq 0\; \; \; \\x=(x-2)^2\end{array}\right\; \; \left\{\begin{array}{cc}x\geq 2\qquad \qquad \; \; \\x=x^2-4x+4\end{array}\right\\\\\\x^2-5x+4=0\; \; ,\; \; x_1=1\; ,\; x_2=4\; \; \; (teorema\; Vieta)\\\\x_1=12\\\\Otvet:\; \; x=4\; .$

Answer 2

Давайте решим уравнения по очереди:

1. √(x² + x - 1) = 0

Для начала возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

x² + x - 1 = 0

Теперь у нас квадратное уравнение. Мы можем попробовать решить его с помощью формулы дискриминанта:

Для уравнения вида ax² + bx + c = 0, дискриминант вычисляется по формуле: D = b² - 4ac

Если D > 0, то у уравнения два различных действительных корня; Если D = 0, то у уравнения один действительный корень (корень кратности 2); Если D < 0, то у уравнения нет действительных корней, а есть комплексные корни.

Для нашего уравнения:

a = 1, b = 1, c = -1 D = 1² - 4 * 1 * (-1) = 1 + 4 = 5

D > 0, следовательно, у нас будет два различных действительных корня.

Теперь применяем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √D) / 2a

x₁ = (-(1) + √5) / 2 * 1 ≈ (−1 + 2.236) / 2 ≈ 1.236 / 2 ≈ 0.618

x₂ = (-(1) - √5) / 2 * 1 ≈ (−1 - 2.236) / 2 ≈ (-3.236) / 2 ≈ -1.618

Таким образом, уравнение имеет два корня: x₁ ≈ 0.618 и x₂ ≈ -1.618.

2. √x = x - 2

Для решения этого уравнения сначала избавимся от корня, возведя обе стороны уравнения в квадрат:

(√x)² = (x - 2)²

x = (x - 2)²

Раскроем скобки:

x = x² - 4x + 4

Теперь приведем уравнение к виду x² - 5x + 4 = 0:

x² - 5x + 4 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

a = 1, b = -5, c = 4 D = (-5)² - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9

D > 0, поэтому у нас есть два различных действительных корня:

x₁ = (-(−5) + √9) / 2 * 1 = (5 + 3) / 2 = 8 / 2 = 4

x₂ = (-(−5) - √9) / 2 * 1 = (5 - 3) / 2 = 2 / 2 = 1

Таким образом, уравнение имеет два корня: x₁ = 4 и x₂ = 1.