Question

Решите неравенство √2х^2+х<1+2х

Answer 1

Ответ:

Решение рациональнвх неравенств.

Answer 2

Ответ:

$\sqrt{2x ^{2} } + x < 1 + 2x \\ \sqrt{2x {}^{2} } < 1 + x \\ 2x {}^{2} < 1 + 2x + x {}^{2} \\ x {}^{2} - 2x - 1 < 0 \\ x(x - 2) < 1 \\ x < 1 \\ x < 3$

Answer 3

Для решения данного неравенства, начнем с переноса всех членов в левую сторону:

√2х^2 + х - 2х - 1 < 0

Упростим выражение:

√2х^2 - х - 1 < 0

Теперь нам нужно найти интервалы значений переменной х, при которых это неравенство истинно. Для этого воспользуемся методом анализа знаков.

1. Найдем точки, где выражение равно нулю:

√2х^2 - х - 1 = 0

Для удобства заменим √2 на а:

ах^2 - х - 1 = 0

Применим квадратное уравнение:

х = (-(-1) ± √((-1)^2 - 4 * а * (-1))) / (2 * а)

х = (1 ± √(1 + 4 * а)) / (2 * а)

х = (1 ± √(1 + 4 * √2)) / (2 * √2)

Значения х, при которых выражение равно нулю, будут являться критическими точками нашего неравенства.

2. Рассмотрим интервалы между критическими точками и заодно значения вне этих интервалов:

Выберем тестовую точку в каждом интервале и определим знак выражения √2х^2 - х - 1 для этой точки.

Так как корни квадратного уравнения не имеют рациональных значений, мы можем использовать десятичные приближения для вычисления.

Интервал 1: (-∞, (1 - √(1 + 4 * √2)) / (2 * √2))

Давайте возьмем х = -1 и подставим его в неравенство:

√2(-1)^2 - (-1) - 1 < 0

√2 - 1 - 1 < 0

√2 - 2 < 0

Интервал 1: (-∞, (1 - √(1 + 4 * √2)) / (2 * √2)) является решением.

Интервал 2: ((1 - √(1 + 4 * √2)) / (2 * √2), (1 + √(1 + 4 * √2)) / (2 * √2))

Давайте возьмем х = 0 и подставим его в неравенство:

√2(0)^2 - (0) - 1 < 0

-1 < 0

Интервал 2: ((1 - √(1 + 4 * √2)) / (2 * √2), (1 + √(1 + 4 * √2)) / (2 * √2)) является решением.

Интервал 3: ((1 + √(1 + 4 * √2)) / (2 * √2), +∞)

Давайте возьмем х = 1 и подставим его в неравенство:

√2(1)^2 - (1) - 1 < 0

√2 - 1 - 1 < 0

√2 - 2 < 0

Интервал 3: ((1 + √(1 + 4 * √2)) / (2 * √2), +∞) является решением.

Таким образом, решение неравенства √2х^2 + х < 1 + 2х состоит из трех интервалов:

(-∞, (1 - √(1 + 4 * √2)) / (2 * √2))

((1 - √(1 + 4 * √2)) / (2 * √2), (1 + √(1 + 4 * √2)) / (2 * √2))

((1 + √(1 + 4 * √2)) / (2 * √2), +∞)